【高等数学基础进阶】函数、极限、连续-函数的连续性

一、连续性的概念

定义1：若$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$，则称$y=f(x)$在点$x_0$处连续

定义2：若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$则称$y=f(x)$在点$x_0$处连续

定义3：若$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0)$则称$y=f(x)$在点$x_0$处左连续
定义4：若$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$则称$y=f(x)$在点$x_0$处右连续

定理：$f(x)$连续$\iff f(x)$左连续且右连续

定义4：区间上连续。开区间连续即区间内任意点都连续，闭区间连续即左闭左连续，右闭右连续。

例1：若$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{\sin 2x+e^{2ax}-1}{x},x\ne 0\\ a,x=0\end{array}$在$(-\infty ,+\infty )$处连续，则$a=$（）

因为题设$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$处连续，又$f(0)=a$，则$\underset{x\to x_0}{\lim }f(0)=a$，即在$x=0$处极限存在
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)& =\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin 2x+e^{2ax}-1}{x}\\ & =\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin 2x}{x}+\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^{2ax}-1}{x}\\ & 显然\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin 2x}{x}存在，整体极限存在，因此等式成立\\ & =2+2a=f(0)=a\end{array}$$
解得$a=-2$

二、间断点及其分类

1. 间断点的定义

定义5：若$f(x)$在$x_0$某去心邻域有定义，但在$x_0$处不连续，则称$x_0$为$f(x)$的间断点

2. 间断点的分类

1. 第一类间断点：左、右极限均存在的间断点
   可去间断点：左极限=右极限
   跳跃间断点：左极限$\ne$右极限
2. 第二类间断点：左、右极限中至少有一个不存在
   无穷间断点
   震荡间断点

注：第一类间断点有且只有两种，第二类间断点有多种，如果题目中要求判断间断点类型，如果是第一类间断点需要说明是可去还是跳跃，如果是第二类间断点，不需要继续说明

例2：设函数$f(x)=\frac{\ln |x|}{|x-1|}\sin x$，分析$f(x)$间断点的情况

分析间断点类型，如果该点两侧函数表达式不同，则分极限讨论，如果相同，则不需要

由于
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }f(x)& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln |x|}{|x-1|}\sin x\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }x\ln |x|\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln |x|}{\frac{1}{x}}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=0\end{array}$$
则$x=0$为可去间断点
由于
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 1}{\lim }f(x)& =\sin 1\cdot \underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{|x-1|}这里可以分左右极限讨论\\ & =\sin 1\cdot \underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln [1+(x-1)]}{|x-1|}\\ & =\sin 1\cdot \underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{|x-1|}=\{\begin{array}{l}\sin 1,x\to 1^{+}\\ -\sin 1,x\to 1^{-}\end{array}\end{array}$$
则$x=1$为跳跃间断点

$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x},(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

三、连续性的运算与性质

定理1：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数

定理2：连续函数的复合认为连续函数

定理3：基本初等函数在其定义域内是连续的

定理4：初等函数在其定义区间内是连续的。为了避免有单个点$f(x)=\sqrt{\cos x-1}$

四、闭区间上连续函数的性质

定理5（有界性定理）：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界

定理6（最值定理）：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值和最小值

定理7（介值定理）：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)\ne f(b)$，则对$f(a)$于$f(b)$之间任一数$C$，至少存在一个$\xi \in (a,b)$，使得$f(\xi )=C$

推论：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上可取到介于它在$[a,b]$上最小值与最大值之间的一切值

定理8（零点定理）：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则必$\exists \xi \in (a,b)$，使得$f(\xi )=0$

常考题型与典型例题

1. 讨论函数的连续性及间断点的类型
2. 有关闭区间上连续函数性质的证明题

例3：讨论$f(x)=\frac{x}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}$的连续性并指出间断点类型

由于$f(x)$使初等函数，则除$x=0,x=1$外，处处连续
当$x=0$
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{-\frac{x}{1-x}}=-1$$
为可去间断点
当$x=1$
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=1,\underset{x\to 1^{-}}{\lim }=0$$
为跳跃间断点

例4：函数$f(x)=\frac{(x^2+x)(\ln |x|)\sin \frac{1}{x}}{x^2-1}$的可去间断点的个数为（）

$f(x)$有三个间断点$x=0,x=\pm 1$
在$x=0$处
$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=-\underset{x\to 0}{\lim }x\ln |x|\sin \frac{1}{x}$$
其中（由于$\sin \frac{1}{x}\in [-1,1],x\to 0,\ln |x|\to \infty$，所以考虑把$0\cdot \infty$拿出来算，看结果是确定值还是无穷）
$$\underset{x\to 0}{\lim }x\ln |x|=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln |x|}{\frac{1}{x}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=0$$
有
$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$$
则$x=0$为可去间断点
在$x=-1$处
$$\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x\ln |x|\sin \frac{1}{x}}{x-1}=0$$
则$x=1$为可去间断点
在$x=1$处
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 1}{\lim }f(x)& =\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x\ln |x|\sin \frac{1}{x}}{x-1}\\ & =\sin 1\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{x-1}\\ & =\sin 1\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln [1+(x-1)]}{x-1}\\ & =\sin 1\end{array}$$

例5：设函数$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+x}{1+x^{2n}}$，讨论函数的间断点

观察到有$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n$的形式，考虑$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=\{\begin{array}{l}0,|x|<1\\ \infty ,|x|>1\\ 1,x=1\\ 不存在,x=-1\end{array}$

$$f(x)=\{\begin{array}{l}1+x,|x|<1\\ 0,|x|>1\\ 1,x=1\\ 0,x=-1\end{array}$$
因此存在间断点$x=1$

例6：设$f(x)$在$[a,b]$上连续，$a<c<d<b$。试证对任意的正数$p,q$，至少存在一个$\xi \in [c,d]$使
$$pf(c)+qf(d)=(p+q)f(\xi )$$

移项可得$f(\xi )=\frac{pf(c)+qf(d)}{p+q}$，本题即证$\frac{pf(c)+qf(d)}{p+q}$在区间$[c,d]$上的最大值和最小值之间
由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，则存在$[c,d]$上最大值$M$，最小值$m$，有
$$m=\frac{pm+qm}{p+q}\le \frac{pf(c)+qf(d)}{p+q}\le \frac{pM+qM}{p+q}=M$$
因此存在一个$\xi \in [c,d]$满足条件

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