12-剑指 Offer 14- II. 剪绳子 II

题目

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m - 1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：2 <= n <= 1000

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思路

与上一题解法一样，唯一不同的是需要对数值进行取余。

考点：多个数相乘时，如何取余？

(x1 + x2) % p = (x1 % p + x2 % p) % p；

(x1 * x2) % p = (x1 % p * x2 % p) % p ：

当x1,x2p时，上式就可能不相等了。

在本题中，要计算3 ^ n % p, (3 < p), 是可以使用(x1 * x2) % p = (x1 % p * x2 % p) % p这个公式的。

推导：a ^ n % p  (a < p, a % p = a)

resn = a ^ n % p = [(a ^(n - 1) % p) * (a % p)] %p = [(a ^ (n - 1) % p) * a] % p

令res(n - 1) = a ^ (n - 1) % p，则resn = [res(n - 1) * a] % p

res(n - 1) = a ^ (n - 1) % p = [res(n - 2) * a] % p

......

res1 = (1 * a) % p

res1通过for循环，一层层推出resn。（res1 -> res2 -> res3...-> resn）

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代码

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
         //先处理特殊情况
        if(n <= 2){
           return 1;
        }
        if(n == 3){
            return 2;
        }

        int res = n / 3;
        int mod = n % 3;
        int p = 1000000007;

        if(mod == 0){ //刚好切成3整段
            return (int)pow(3, res);
        }else if(mod == 1){ //让它和其中一个3合并起来
            return (int)(pow(3, res - 1) * 4 % p);
        }else{ 
            return (int)(pow(3, res) * 2 % p);
        }
    }

    //求a ^ n % p
    long pow(int a, int n){
        long res = 1;
        int p = 1000000007;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            res = (res * a) % p; //有可能超过int的最大值
        }
        return res;
    }
}