Deep shape-aware descriptor论文笔记

说明：
1.此乃本人阅读论文过程中所记录的笔记，由于本人水平有限，难免会出现遗漏重点或表述不清等问题，请各位见谅。同时希望各位指出我的问题，让我发现问题所在，谢谢大家Thanks♪(･ω･)ﾉ。
2.有些用词根据原文翻译（或是直接用原文），可能语句不通畅。（毕竟我是一个六级考了五次的憨憨）
3.数据处理部分和结论分析部分没有加入，此处主要为了理清文章描述方法的处理流程。

 
1.重要概念介绍
   拉普拉斯-贝尔特拉米算子（Laplace-Beltrami operator,LBO）:
   给定紧凑的黎曼流形$\mathbb{M}$，空间$L^2(\mathbb{M})$是包含所有光滑且平方可积函数的希尔伯特空间，其内积定义为$<f_1,f_2>={\int }_{\mathbb{M}}{f}_1(x)f_2(x)da(x)$，其中da(x)表示M上由区域元素定义的黎曼度量。给定二次可微的实值函数$f:\mathbb{M}\to \mathbb{R}$，则拉普拉斯-贝尔特拉米算子定义为
    ${\Delta }_{\mathbb{M}}f=-div({\nabla }_{\mathbb{M}}f)$
拉普拉斯-贝尔特拉米算子为线性半正定算子，将拉普拉斯算子推广到非欧氏空间。
将其进行离散化。定义实函数$f:\mathbb{V}\to \mathbb{R}$，其中$\mathbb{V}$表示网格顶点的集合，给出m维向量f=(f(i))，其中第i个分量表示网格的第i个顶点处的函数值。利用有限元法或者有限体素法，在顶点$v_i$处${\Delta }_{\mathbb{M}}f$的值可由下式逼近：
    ${\Delta }_{\mathbb{M}}f\approx \frac{1}{a_i}{\sum }_{j\sim i}\frac{cot{\alpha }_{ij}+cot{\beta }_{ij}}{2}(f(i)-f(j))$
其中${\alpha }_{ij}$和${\beta }_{ij}$分别表示$\angle (v_i{v}_{k_1}{v}_j)$和$\angle (v_i{v}_{k_2}{v}_j)$，对应的面$t^{\alpha }=\{v_i,v_{k_1},v_j\}$和$t^{\alpha }=\{v_i,v_{k_2},v_j\}$，两个面邻接于边[i,j]，$a_i$表示顶点i处的Voronoi单元的面积。
   使用谱分析方法，用m×m阶矩阵$L=D^{-1}E$，其中D=diag($d_i$))为正定对角矩阵，$d_i$表示顶点i处的Voronoi单元的面积。$E=diag({\sum }_{k\ne i}{c}_{ik})-(c_{ij})$为稀疏对称矩阵，权重$c_{ij}$由如下公式给出
    
利用特征值方程$E{\phi }_{\ell }={\lambda }_{\ell }D{\phi }_{\ell }$求L的特征值${\lambda }_{\ell }$和特征向量${\phi }_{\ell }$，对特征值进行升序排序，给出相应的正交特征向量，其中特征向量的正交性由如下D内积定义：

    $<{\phi }_k,{\phi }_{\ell }>={\sum }_{i=1}^m{d}_i{\phi }_k(i){\phi }_{\ell }(i)={\delta }_{k\ell },$  $\forall k,\ell =1,...,m$

深度自编码器（Deep auto-encoders）:
   一种用于重构输入作为输出的神经网络，它使用随机梯度下降的反向传播算法从无标签集中学习特征。如下图所示，一个自编码器包含一个编码器和解码器。
   
将编码器记作$f_{\theta }$，它将输入向量$x\in {\mathbb{R}}^d$映射成隐藏层表示$a\in {\mathbb{R}}^d$，
     $a=f_{\theta }(x)=\sigma (Wx+b)$
记θ={W,b}，其中W∈${\mathbb{R}}^{r\times d}$和$b^{{}^{\prime }}\in {\mathbb{R}}^d$为编码器的权重矩阵和偏移向量，σ为非线性激活函数。
将解码器记作$g_{{\theta }^{{}^{\prime }}}$，它将隐藏层表示h映射为输入x的重构$\hat{x}$，
     $\hat{x}=g_{{\theta }^{{}^{\prime }}}(a)=\sigma (W^{{}^{\prime }}a+b^{{}^{\prime }})$
记${\theta }^{{}^{\prime }}=\{W^{{}^{\prime }},b^{{}^{\prime }}\}.$其中$W^{{}^{\prime }}\in {\mathbb{R}}^{d\times r}$和$b^{{}^{\prime }}\in {\mathbb{R}}^d$为解码器的权重矩阵和偏移向量。其中W和$W^{{}^{\prime }}$。
由此得到如下最小化目标函数（为了防止数据过拟合，我们加入正则化分量）：
   $\pounds (W,b,b^{{}^{\prime }})=\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^N\Vert x_i-\widehat{x_i}{\Vert }_2^2+\frac{\lambda }{2}\Vert W{\Vert }_F^2$

2.解决的问题
   从三维模型中获取简洁、几何信息丰富且计算效率高的深度模型感知描述符。

3.处理方法主要步骤
  整个处理流程如下图所示：

（1） 低层特征（Low-Level Descriptors）
用谱图小波特征（Spectral Graph Wavelets Signature，SGWS）矩阵生成三维模型的局部描述符。对于给定的解决半径R，顶点j处的SGWS是一个p维向量，如下定义
     $s_j=\{s_Q(j)|Q=1,...,R\}$
其中$s_Q(j)$是顶点j处的模型描述符，解决层Q由下式给出
     $s_Q(j)=\{W_{{\delta }_j}(t_q,j)|q=1,...,Q\}\cup \{S_{{\delta }_j(j)}\}$
在每个解决层Q，顶点j处的描述符$s_Q(j)$是一个(Q+1)维向量，由谱图小波系数$W_{{\delta }_j}(t_q,j)$和尺度函数系数$S_{{\delta }_j(j)}$，它们定义如下
     $W_{{\delta }_j}(t_q,j)={\sum }_{\ell =1}^m{a}_j^{2}g(t_q{\lambda }_{\ell }){\phi }_{\ell }^2(j),$   q=1,…,Q
    $S_{{\delta }_j(j)}={\sum }_{\ell =1}^m{a}_j^{2}h({\lambda }_{\ell }){\phi }_{\ell }^2(j)$
其中g和h分别是谱图小波生成内核和尺度函数。谱图小波生成内核g视作带通滤波器，尺度函数h视作低通滤波器，以此编码网格顶点上的函数低频部分。小波尺度$t_q(t_q>t_{q+1})$在最大尺度$t_1$和最小尺度$t_Q$之间在对数下等距选取。$s_j$的维数p由以下公式确定
     $p=\frac{(R+1)(R+2)}{2}-1$
接下来定义谱图小波特征矩阵$S=(s_1,\dots ,s_m)\in R^{p\times m}$，其中$s_i$是顶点i的特征，m是网格顶点数目。在该论文中使用了下列三次样条小波函数g和尺度函数h
   
   

其中${\lambda }_{m}in={\lambda }_{m}ax/20$，$\gamma$设置为使h(0)等于g的最大值。最大尺度和最小尺度分别设置为$t_1=2/{\lambda }_{min}$和$t_Q=2/{\lambda }_{max}$。

(2)中层特征（Mid-level features）
  对低层特征应用BoF(Bag of Feature,特征袋)框架构造中间特征。
  BoF包含以下四个主要步骤：
  特征提取和描述（Feature extraction and description）：在BoF范式中，一个三维模型$\mathbb{M}$被视作m个具有相同维数p的局部描述符的集合，其中不同特征向量的阶数不重要。局部描述符分为稠密和稀疏两类，稠密描述符对网格的每个顶点进行计算，稀疏描述符只在有特征检测算法得到的关键点处进行计算。
  码书设计(Codebook design)：应用K均值算法构建离线字典，得到具有代表性的局部描述符的集合。此处使用内在空间分割算法选取具有代表性的描述符，确保每个模型的每个分割参与生成过程。最后用p×k字典矩阵$V=(v_1,\dots ,v_k)$，其中p维向量$v_i$维聚类中心。
  特征编码（Feature coding）：使用局部约束线性编码(Locality-constrained Linear Coding,LLC)的方式完成。LLC码$u_i$由以下正则化最小二乘法得到
  $u_i=arg\underset{1^T{u}_i=1}{\min }\Vert s_i-V{u}_i{\Vert }_2^2+\lambda \Vert d_i⨀u_i{\Vert }_2^2$
其中⨀表示数组元素依次相乘，$d_i=exp(\frac{dist(s_i,V)}{\delta })$度量第i个描述符和所有码字的相似度，$\delta$用于调整局部适配器的权重衰减速度。（其中$dist(s_i,V)=(\Vert s_i-v_1{\Vert }_2,\dots ,\Vert s_i-v_k{\Vert }_2)$）
由此产生k×m的LLC编码矩阵$U=(u_1,\dots ,u_m)。$
   特征池化（Feature pooling）：将前一步得到的结果绘制成直方图h
     $h=U{1}_m=(h_r{)}_{r=1,..,k}$
其中$h_r={\sum }_{i=1}^m{u}_{ri}$。
然后由h=P(U)给出特征向量h，其中P为预定义的池化函数，将不同码字的信息汇聚在一个向量中。


引入双调和距离（biharmonic distance）来度量BoF向量间的空间关系。用k×k矩阵F来定义三维模型的深度感知描述符
    $F=UK{U}^T$
其中U为LLC编码矩阵，$K=(k_{ij})$为m×m阶双调和距离内核矩阵，由LBO算子的特征值和特征向量定义
     κ_{ij}=\sum_{\ell=1}^{m\frac{1}{\lambda_{\ell}}{2}}(\varphi_{\ell}(i)-\varphi_{\ell}(j))^2
对于每个三维模型，用F表示它的中层特征，其包含全局描述符。
(3)高层特征（High-level features）
  将中层特征作为输入，用深度自编码器学习高级特征。高层特征从深度自编码器的最后一个隐藏层的输出提取，生成r_L维高层特征向量a_L，其中r_L为最后一个隐藏层的神经元数量。
4.特点
  (1)用谱图小波描述低层模型描述符。
  (2)用BoF框架构造中层特征，使用LLC完成特征编码，并引入双调和距离来度量BoF向量间的空间关系。
  (3)实现了一种可用于学习高级特征的自动编码器，可用于三维模型检索任务的深度模型描述符。