【PyTorch】教程：学习基础知识-(6) Autograd

AUTOMATIC DIFFERENTIATION WITH torch.autograd

在训练神经网络时，最常用的算法是反向传播算法，在该算法中，参数根据损失函数相对于给定参数的梯度进行调整。

为了计算这些梯度， PyTorch 有一个内置的微分引擎 torch.autograd 。它智慧任何计算图的梯度自动计算。

考虑最简单的单层神经网络，输入 x, 参数 w 和 b, 以及一些损失函数。 它可以在 PyTorch 中以以下方式定义：

import torch 
x = torch.ones(5) # 输入
y = torch.zeros(3) # 输出
w = torch.randn(5, 3, requires_grad=True) # 权重
b = torch.randn(3, requires_grad=True) # 偏置
z = torch.matmul(x, w) + b
loss = torch.nn.functional.binary_cross_entropy_with_logits(z, y)
print(f"loss = {loss}")

loss = 0.7214622497558594

Tensors, Functions and Computational graph

上述代码定义了以下计算图

这个网络中，w 和 b 是需要优化的参数。因此，我们需要能够计算关于这些变量的损失函数的梯度。为了做到这一点，我们设置了这些 tensor 的 requires_grad 属性。

你可以在创建一个 tensor 时设置 requires_grad 值，也可以在以后使用时利用 x.requires_grad(True) 方法。

应用于 tensor 来构建计算图的函数实际上 function 类的一个对象，该对象知道如何前向计算，也知道在反向传播时计算导数。反向传播的引用存储在 tensor 的 grad_fn 属性中。

print(f"Gradient function for z = {z.grad_fn}")
print(f"Gradient function for loss = {loss.grad_fn}")

Gradient function for z = <AddBackward0 object at 0x00000230B70C84F0>
Gradient function for loss = <BinaryCrossEntropyWithLogitsBackward object at 0x00000230B70C8D30>

Computing Gradients

为了计算神经网络的权重参数，我们需要计算 loss function 对参数的导数。即，我们需要在给定 $x$ 和 $y$ 计算 $\frac{\partial loss}{\partial w}$ 和 $\frac{\partial loss}{\partial b}$ 。为了计算这些导数，我们调用 loss.backward(), 然后从 w.grad 和 b.grad 提取值。

loss.backward()
print(w.grad)
print(b.grad)

tensor([[0.0494, 0.0666, 0.2772],
        [0.0494, 0.0666, 0.2772],
        [0.0494, 0.0666, 0.2772],
        [0.0494, 0.0666, 0.2772],
        [0.0494, 0.0666, 0.2772]])
tensor([0.0494, 0.0666, 0.2772])

我们只能获得计算图的叶节点的 grad 属性，它们的 requires_grad 属性设置为 True 。对于图中的所有其他节点，梯度将不可用。
出于性能考虑，我们只能在给定的图上反向执行一次梯度计算。如果我们需要对同一个图执行多个反向调用，我们需要将 retain_graph=True 传递给反向调用。

Disabling Gradient Tracking (不跟踪梯度)

默认情况下，所有 requires_grad=True 的 tensor 都在跟踪它们的计算历史并支持梯度计算。然而，有些情况下我们不需要这样做，例如，当我们训练了模型，只想对输入数据进行计算，我们只需要通过网络进行 forward 计算。我们可以用 torch.no_grad() 停止跟踪梯度计算。

z = torch.matmul(x, w) + b
print(z.requires_grad)

with torch.no_grad():
    z = torch.matmul(x, w) + b

print(z.requires_grad)

True
False

实现相同结果的另一种方法是在 tensor 上使用 detach() 方法

z = torch.matmul(x, w) + b
z_det = z.detach()
print(z_det.requires_grad)

False

为什么要禁用梯度跟踪呢？

• 1. 将神经网络中的一些参数标记为冻结参数，这是一个非常常见的场景finetuning a pretrained network
• 2. 为了加速计算。因为在不跟踪梯度的 tensor 上计算会更有效。

More on Computational Graphs

从概念上讲，autograd 在一个由 Function 对象组成的有向无环图 ( DAG ) 中保存数据( tensors )和所有执行的操作( 以及由此产生的新张量 )的记录。在这个 DAG 中，叶子节点是输入 tensors ，根是输出 tensors 。通过从根到叶跟踪这个图，您可以使用链式法则自动计算梯度。

在向前传播中，autograd 同时做两件事:

1. 根据要求的操作计算结果 tensor。
2. 在 DAG 中维护操作的梯度函数。

当在 DAG 根上调用 .backward() 时，后向传播开始，autograd 然后

• 从每个 .grad_fn 中计算梯度；
• 在各自的 tensor 的 .grad 属性中累积它们
• 利用链式法则，一直传播到叶子 tensor 。

PyTorch 中的 DAG 是动态的，需要注意的一件重要的事情是，图是从头开始重新创建的，在每次 .backward() 调用之后， autograd 开始填充一个新的图。 这正是允许您在模型中使用控制流语句的原因，如果需要，您可以在每次迭代中更改形状、大小和操作等。

Optional Reading: Tensor Gradients and Jacobian Products

在很多情况下，我们有一个标量损失函数，我们需要计算关于一些参数的梯度，然后，也有输出函数是任意 tensor 的情况，在这种情况下，PyTorch 允许你计算所谓的雅克比矩阵积，而不是实际的梯度。

对于一个向量函数

$y=f(x)$ , 当 $ \overrightarrow{x}=$, $y=<y_1,...y_m>$, $y$ 对 $x$ 的导数可以利用 Jacobian matrix (雅克比矩阵):

J = ( ∂ y 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ y 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ y m ∂ x 1 ⋯ ∂ y m ∂ x n ) \begin{equation*} J = \begin{pmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \\ \end{pmatrix} \end{equation*} J= ​∂x1​∂y1​​⋮∂x1​∂ym​​​⋯⋱⋯​∂xn​∂y1​​⋮∂xn​∂ym​​​ ​​

PyTorch 允许你在给定 $v=(v_1,...v_m)$ 向量时计算雅克比矩阵的点积 $v^T\cdot J$， 而不是雅克比矩阵本身。可以通过 backward 以 $v$ 作为参数而获得。$v$ 的大小应该与原始的 tensor 大小相同。

inp = torch.eye(4, 5, requires_grad=True)
out = (inp+1).pow(2).t()
out.backward(torch.ones_like(out), retain_graph=True)
print(f"First call\n{inp.grad}")

out.backward(torch.ones_like(out), retain_graph=True)
print(f"\nSecond call\n{inp.grad}")

inp.grad.zero_()

out.backward(torch.ones_like(out), retain_graph=True)
print(f"\nCall after zeroing gradients\n{inp.grad}")

First call
tensor([[4., 2., 2., 2., 2.],
        [2., 4., 2., 2., 2.],
        [2., 2., 4., 2., 2.],
        [2., 2., 2., 4., 2.]])

Second call
tensor([[8., 4., 4., 4., 4.],
        [4., 8., 4., 4., 4.],
        [4., 4., 8., 4., 4.],
        [4., 4., 4., 8., 4.]])

Call after zeroing gradients
tensor([[4., 2., 2., 2., 2.],
        [2., 4., 2., 2., 2.],
        [2., 2., 4., 2., 2.],
        [2., 2., 2., 4., 2.]])

注意： 当我们用相同的参数第二次调用 backward() 时，梯度值是不同的。这是因为在进行反向传播时，PyTorch 会累积梯度，即计算梯度的值被添加到计算图的所有叶节点的 grad 属性中，如果逆向计算合适的梯度，你需要在之前讲梯度属性归零。在现实训练中，优化器可以帮助我们做到这一点。
以前我们调用 backward() 函数时不带参数。这本质上相当于调用 backward(torch.tensor(1.0))，这是一种有用的方法，可以在标量值函数的情况下计算梯度，例如神经网络训练期间的损失。

【参考】

Automatic Differentiation with torch.autograd — PyTorch Tutorials 1.13.1+cu117 documentation