仿射变换（affine transformation）

多面体编译（polyhedral compilation）会使用到仿射变换（affine transformation）的知识，这里介绍下仿射变换的数学原理。

线性变换：

对于变换 $f$ 是一个线性变换，则对于任意向量 $w$ 和 $v$ 满足：

1. $f(w+v)=f(w)+f(v)$
2. $f(kv)=kf(v)$

其中 $k$ 为标量。

例如，$f(v)=<3v_1-2v_2,4v_2>$ 是一个线性变换，而 $f(v)=<3v_1-2v_2,4v_1{v}_2>$ 则不是线性变换。

线性变换还可以写成一个矩阵乘以输入向量的形式。例如：$f(v)=<3v_1-2v_2,4v_2>$ 可以写成：
$$f(v)=(\begin{array}{cc}3& -2\\ 0& 4\end{array})(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array})$$

仿射变换：

非正式地，一个仿射变换就是一个线性变换加一个常量。

正式地，一个仿射变换 $f$ 可以表示为：$f(v)=Mv+c$。其中，$M$ 是一个线性变换的矩阵，$c$ 是一个常量向量。

例如，下面这是一个仿射变换:
$$f(v)=(\begin{array}{cc}3& -2\\ 0& 4\end{array})(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array})+(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array})$$

可见，线性变换肯定是一个仿射变换，而仿射变换只在其常量向量阵为零时才为线性变换。