求解完全最短路径的Floyd算法

关键词：Floyd算法，动态规划

---

---

以下是本篇文章正文内容

---

一、算法针对的问题和应用

1.针对问题

完全最短路径问题（all-pairs shortest-paths problem）:
给定一个加权连通图（无向的或有向的），找到从每个顶点到其他所有顶点之间的距离（最短路径的长度）

2.应用

（1）通信（基站选址规划）
（2）交通网络
（3）运筹学
（4）计算机游戏（路径规划）

二、算法介绍

1.一些概念

（1）权重矩阵W：有权图的权重矩阵
wij：权重矩阵中第i行第j列，代表从第i个顶点到第j个顶点之间的路径长度。

（2）距离矩阵D：记录最短路径长度的矩阵（n阶）
dij：距离矩阵中第i行第j列，代表从第i个顶点到第j个顶点之间最短的路径长度。

（3）以下过程里的D(0)、D(1)…D(k)，其中k代表：中间顶点的编号不大于k（先看过程再来理解）。

2.算法讲解

（1）k=4

过程	详解
	这个矩阵说明：不包含中间顶点（此时的k=0）的最短路径长度。【在框住的内容里，有 {b–>a,a–>c}=5，{d–>a,a–>c}=9,这是要为D(1)进行更新的内容，见下图】
	这个矩阵说明：中点顶点（此时只有a）的编号不大于1（此时的k=1）的最短路径长度。【在框住的内容里，有{c–>b,b–>a}=9，{c–>b,b–>c}=12>0，故在D(2)只更新c–>a】
	这个矩阵说明：中间顶点（此时为a和b）的编号不大于2（此时的k=2）的最短路径长度。【在框住的内容里，有{a–>c,c–>b}=10，{a–>c,c–>d}=4，{b–>c,c–>d}=6，{d–>c,c–>b}=16，故在D(3)要更新a–>b,a–>d,b–>d,d–>b四条】
	这个矩阵说明：中间顶点（此时为a、b和c）的编号不大于3（此时的k=3）的最短路径长度。【在框住的内容里，有{c–>d,d–>a}=7<9，故在D(4)要更新c–>a】
	这个矩阵说明：中间顶点（此时为a、b、c和d）的编号不大于4（此时的k=4）的最短路径长度。过程结束。

3.伪代码表示

算法：Floyd(W[1..n,1..n])
//实现计算完全最短路径的Floyd算法
//输入：不包含长度为负的回路的图的权重矩阵W
//输出：包含最短路径长度的距离矩阵
D<--W
for k<--1 to n do
	for i<--1 to n do
		for j<--1 to n do
			D[i,j] <-- min{D[i,j],D[i,k]+D[k,j]} 
return D

4.一些语言的代码实现

【待完善】

5.一些扩展

（1）加强Floyd算法，使得该算法能求出最短路径本身，不仅仅是最短路径得长度。
【待完善，似乎是再定义一个矩阵P】

本文是作者在学习数据结构、算法设计与分析课程时，结合自己理解所写的，如有错误或补充，请在评论区留言。