Minimum Snap轨迹规划详解（3）闭式求解

如果QP问题只有等式约束没有不等式约束，那么是可以闭式求解(close form)的。闭式求解效率要快很多，而且只需要用到矩阵运算，不需要QPsolver。
这里介绍Nicholas Roy文章中闭式求解的方法。

1. QP等式约束构建

闭式法中的Q

矩阵计算和之前一样(参照文章一)，但约束的形式与之前略为不同，在之前的方法中，等式约束只要构造成[...]p=b的形式就可以了，而闭式法中，每段poly都构造成

 其中d₀,d_T为第i段poly的起点和终点的各阶导数组成的向量，比如只考虑PVA：

，当然也可以把jerk，snap等加入到向量。注意：这里是不管每段端点的PVA是否已知，都写进来。
块合并各段轨迹的约束方程得到

k为轨迹段数,n为轨迹的阶数，设只考虑pva，A_total的size为

。

这里为了简化，没有把每段poly的timestamp都改成从0开始，一般，为了避免timestamp太大引起数值问题，每段poly的timestamp都成0开始。
由上式可以看到，A_total是已知的(怎么构造可参见文章一中的等式约束构造方法)，而d中只有少部分(起点、终点的pva等)是已知的，其他大部分是未知的。如果能够求出d，那么轨迹参数可以通过p=A^-1d很容易求得。

2. 如何求d？

闭式法的思路是：将向量中的变量分成两部分：”d中所有已知量组成的Fix部分d_F”和”所有未知量组成的Free部分d_P”。然后通过推导，根据d_F求得d_P，从而得到d，最后求得p。
下面介绍整个推导过程，

2.1. 消除重复变量(连续性约束)

可以会发现，上面构造等式约束时，并没有加入连续性约束，连续性约束并不是直接加到等式约束中。考虑到连续性(这里假设PVA连续)，d

向量中很多变量其实重复了，即

pi(ti)=pi+1(ti),  vi(ti)=vi+1(ti),  ai(ti)=ai+1(ti)

 因此需要一个映射矩阵将一个变量映射到两个重复的变量上，怎么映射？

• 如

 

[aa]=[11]a

，将变量a映射到左边向量中的两个变量。

所以构造映射矩阵

 

 即d=Md'd=Md′。

2.2 向量元素置换

消除掉重复变量之后，需要调整d'中的变量，把fix部分和free部分分开排列，可以左乘一个置换矩阵C，使得

C矩阵怎么构造？

• 举个例子，设，其中a,b,c是已知(d_F)，b未知(d_p)，构造一个4×4的单位阵，取d_F所在的(1,3,4)列放到左边，再取d_p所在的(2)列放到右边，就构造出置换矩阵C：

 abcd⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢1000001000010100⎤⎦⎥⎥⎥C⎡⎣⎢⎢⎢