线性代数笔记 一 行列式的来龙去脉

1. 二元线性方程组的解法与二阶行列式产生
   大家从中学阶段都学习过二元一次方程组，对于它的解法自然也不陌生（实际上n元一次方程组的解法与此相同），一行的倍数加到另外一行，消去一个元，然后求解，回代，这就是高斯消元法
   那么我们能不能通过代数表达式，看看有没有什么简便的方法去求解呢？
   图片来源于谢启鸿版本高等代数第二页第三页
   
   实际上，这个应该就是行列式最初的来源，任何数学概念都不是凭空产生或者定义的，行列式的二阶定义就来源于解二元一次方程组的一种快速记法，然后发展得到n阶定义
   这里可以轻松根据定义得到二阶行列式的所有性质
2. 高阶行列式的定义与性质
   n阶行列式的值定义如下，谢启鸿教材第13页
   三阶乃至n阶行列式的定义，是由二阶行列式发展得来，谢启鸿老师的思路是很巧妙的：
   既然二阶行列式有八条性质，那么三阶与n阶应该也满足八条性质，不妨倒推一下，如果行列式满足八条性质，应该如何定义呢？于是可以得到上面n阶行列式的递归定义（第一种定义方法）
3. 行列式的意义
   最开始，行列式是在解方程组过程中发展出来的，这也就是行列式最初的意义，但是随着后来几何与代数的联系，行列式有了其几何意义
   设A1，A2，…，An为n维列向量，则det [A1 A2 … An]为在n维空间中，以这n个向量为边所构成的几何体的有方向的面积或体积（这里说体积面积是不严谨的，但是方便理解，二维空间中这样计算的是面积，三维是体积，在更高维里面是超几何体的“体积”），大家可以自己随便拿一些平面向量或者空间向量计算来验证这个
   这样的话，行列式的很多性质就可以得到几何上的解释，比如说某两行（列）相等行列式为零可以理解为有两个向量相等，构成的几何体体积为0等等