线性代数笔记 一 行列式的来龙去脉

  1. 二元线性方程组的解法与二阶行列式产生
    大家从中学阶段都学习过二元一次方程组,对于它的解法自然也不陌生(实际上n元一次方程组的解法与此相同),一行的倍数加到另外一行,消去一个元,然后求解,回代,这就是高斯消元法
    那么我们能不能通过代数表达式,看看有没有什么简便的方法去求解呢?
    图片来源于谢启鸿版本高等代数第二页第三页线性代数笔记 一 行列式的来龙去脉_第1张图片线性代数笔记 一 行列式的来龙去脉_第2张图片
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    实际上,这个应该就是行列式最初的来源,任何数学概念都不是凭空产生或者定义的,行列式的二阶定义就来源于解二元一次方程组的一种快速记法,然后发展得到n阶定义
    这里可以轻松根据定义得到二阶行列式的所有性质
  2. 高阶行列式的定义与性质
    n阶行列式的值定义如下,谢启鸿教材第13页线性代数笔记 一 行列式的来龙去脉_第4张图片
    三阶乃至n阶行列式的定义,是由二阶行列式发展得来,谢启鸿老师的思路是很巧妙的:
    既然二阶行列式有八条性质,那么三阶与n阶应该也满足八条性质,不妨倒推一下,如果行列式满足八条性质,应该如何定义呢?于是可以得到上面n阶行列式的递归定义(第一种定义方法)
  3. 行列式的意义
    最开始,行列式是在解方程组过程中发展出来的,这也就是行列式最初的意义,但是随着后来几何与代数的联系,行列式有了其几何意义
    设A1,A2,…,An为n维列向量,则det [A1 A2 … An]为在n维空间中,以这n个向量为边所构成的几何体的有方向的面积或体积(这里说体积面积是不严谨的,但是方便理解,二维空间中这样计算的是面积,三维是体积,在更高维里面是超几何体的“体积”),大家可以自己随便拿一些平面向量或者空间向量计算来验证这个
    这样的话,行列式的很多性质就可以得到几何上的解释,比如说某两行(列)相等行列式为零可以理解为有两个向量相等,构成的几何体体积为0等等

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