Proximal Gradient Descent for L1 Regularization

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假设我们要求解以下的最小化问题：
                                                                                \(  \min\limits_x f(x)  \) 。
如果\( f(x) \)可导，那么一个简单的方法是使用Gradient Descent (GD)方法，也即使用以下的式子进行迭代求解：
                                               \( x_{k+1} := x_{k} - \alpha \nabla f(x_{k}) \) 。
对GD的一种解释是\( x_{k} \)沿着当前目标函数的下降方向走一小段，只要步子足够小，总能保证得到 \( f(x_{k+1}) \leq f(x_{k}) \)。

 

如果\( \nabla f(x) \)满足L-Lipschitz，即：
                                                 \( ||\nabla f(x') - \nabla f(x)|| \leq L ||x’ - x|| \)，
那么我们可以在点\( x_{k} \)附近把\( f(x) \)近似为：
                             \(  \hat{f}(x, x_k) \doteq f(x_k) + \langle \nabla f(x_k), x - x_k \rangle + \frac{L}{2} ||x - x_k||^2 \)。

把上面式子中各项重新排列下，可以得到：

                             

显然\(  \hat{f}(x, x_k) \)的最小值在

                                                      \( x_{k+1} = x_k - \frac 1 L \nabla f(x_k) \)

获得。所以，从这个角度上看的话，GD的每次迭代是在最小化原目标的一个二次近似函数。

                                            

 

在很多最小化问题中，我们往往会加入非光滑的惩罚项\( g(x) \)，比如常见的L1惩罚：\( g(x) = ||x||_1 \)。这个时候，GD就不好直接推广了。但上面的二次近似思想却可以推广到这种情况：

                                。

这就是所谓的proximal gradient descent(PGD)算法。只要给定\( g(x) \)时下面的最小化问题能容易地求解，PGD就能高效地使用：

                                      。

比如\( g(x) = ||x||_1 \)时， \(\text{prox}_{\mu g} (z)\)能够通过所谓的soft thresholding获得：

                                                 \( \text{prox}_{\mu g} (z) = \text{sign}(z) \max\{|z| - \mu, \ 0\} \)。

 

[References]

[1] John Wright. Lecture III: Algorithms, 2013.