python举例cart回归树_分类与回归树(CART)的思想、结构、训练和实现

摘要：分类与回归树(Classification and Regression Tree, CART)是一种经典的决策树，可以用来处理涉及连续数据的分类或者回归任务，它和它的变种在当前的工业领域应用非常广泛。本文对这种决策树的思想、结构、训练规则和实现方式进行了简单介绍。

1. 引言

在这个世界里，想要生存，那就得时时刻刻做好决策——做决策的基础，抽象来说，就是对事物的发展做出预测。有些预测得经常做，比如预测气温、预测一个人最喜欢的物品等等。人工智能领域的科学家，提出了很多方法来将一些有价值的预测活动自动化。这些方法可以分为两类：(1)回归模型，如多元线性回归模型；(2)分类算法,如C4.5决策树。

有些变量是连续值，比如气温，以及相关的湿度、气压等等，都是平滑变化的数值。像多元线性回归这样的模型，假设自变量和因变量都是连续值，非常适合气温这类变量取值的预测。理论上，只要特征足够好，这类回归模型可以完美地拟合研究对象、做出没有误差的预测。

但是，有些情况下，不要求模型完美，误差足够小就可以。一些学者采用类似随机投影(可以参考李鹏宇：对simhash的简单理解​zhuanlan.zhihu.com

)的思路，将自变量的取值空间切分为若干个碎块，并假设这个空间碎块内的所有样本的因变量取值接近(甚至相同)——在这种思想的指导下，出现了一种非常经典的回归模型，即CART回归树。

本文对CART回归树的基本思想和构建方式进行了简单介绍——CART回归树，稍作修改既可以用来做分类，因此这里顺便在CART回归树的基础上介绍了CART分类树。

2. CART回归树的思想与逻辑结构

CART是“Classification and Regression Tree”的缩写。“CART回归树”特指一种以二叉树为逻辑结构的，用于完成线性回归任务的决策树。

2.1. 决策树的思想

决策树认为，物以类聚、人以群分，在特征空间里相近的样本，那就是一类。如果为每个“类”分配的空间范围比较小，那么，同一个类内的样本差异会非常小，以至于看起来一样。换句话说，如果我们可以将特征空间切分为较小的碎块，然后为每一个碎块内的样本配置一个统一的因变量取值，就有机会做出误差较小的预测。这也是分类和聚类算法的基本假设。

如图2-1，是这种建模思想的图示。它的做法比较粗暴：首先分割特征空间，也就是将样本分组；然后为每一组样本分配一个预测值；最后，在预测阶段，为样本找到分组、找到预测值。

这种思想似乎有点道理，值得一试。当然有2个问题需要回答：(1)如何切分特征空间；(2)如何为各个空间碎块设置因变量取值。图 2-1 用(我臆想的)决策树预测学生考试成绩

2.2. 针对离散数据的分类决策树

假设预测任务的输入和输出都是离散值，我们可以直接以特征的各个取值为候选分割平面(换个说法，就是对训练样本分组)，进行决策树的构建——这就是针对离散值的分类决策树。这种决策树包括ID3、C4.5等等，详情可以参考李鹏宇：决策树算法:由来与训练​zhuanlan.zhihu.com

和李鹏宇：决策树的python实现:low版，ID3和C4.5​zhuanlan.zhihu.com

注意，针对离散值的决策树在对训练样本进行分组时，一般情况下不允许重复使用一个特征。而有能力处理连续变量的CART回归树不同，允许重复使用一个特征。原因和效果后面会讲。

2.3. CART回归树的思想

当然，一些情况下，部门不能直接使用特征取值，比如说，特征为连续变量。这时候，我们需要使用一种新的策略，来选择用于分割样本的特征取值。

另一种情况下，我们不能使用信息增益、基尼系数这样的指标，作为分组质量的表征——输出值是连续变量。这时候，我们也需要一种新的策略，来评估分组质量。

当任务的输出值为连续变量，我们需要使用决策树的另一种版本——回归树。最常见的回归树就是CART回归树。

2.4. CART回归树的逻辑结构——一个可用的CART回归树长什么样

如图2-1，是用于预测一个人每周进行体育锻炼次数的CART回归树。这个模型基于人的年龄和每天工作时长来进行预测，总共使用了3条规则：(1)年龄是否大于30；(2)年龄是否大于66；(3)工作时长是否大于12。这3条规则以二叉树的结构形成一个分组体系，将所有的样本分为4组，而每一个组内的样本配置了(锻炼次数的)预测值——在对一个人进行预测时，基于他的数据从树根走到叶子结点，就得到了锻炼次数。

决策树用起来非常非常的简单高效。那么，这样一种模型是如何构建出来的呢？图 2-2 一个(臆想的)CART回归树

3. 如何构建一个CART回归树

构建一个可用的CART回归树的关键，是设计一个标准，用来指导机器按照最有利于准确计算因变量的情况来切分特征空间。

本节首先介绍经典CART的特征空间分割标准和方法；接着，说说实际应用中需要为CART增加的一些策略；最后，基于CART回归树和决策树的相关知识，简单说说CART分类树。

回归问题可以这样表述：

给定一个数据集

。其中

是任务的输入数据，为第n个样本的特征，是一个K维向量；

为第n个样本的输出值。回归任务就是，构建一个模型

，以最小的误差，基于特征预测输出值 。

3.1. 切分特征空间的标准与输出值计算规则

一般来说，在回归类任务中，我们使用MSE(Mean Square Error, 平均方差)作为模型“误差”的度量指标。MSE的计算方式为：

使用这个指标的原因/好处有很多：(1)符合直觉，一看就知道可以度量预测值和真实值的总体偏离情况；(2)使用梯度下降这类方法优化的时候，推导计算较为方便；(3)等等。

在构建CART树的时候，我们遍历所有特征的所有取值 ——以这个特征的这个取值为分割依据、得到两组样本 和 ，然后计算对这两组样本的预测误差。遍历完毕后，选取预测误差最小的那一个特征的取值 。

这里有一个问题：“预测误差”哪来的？基于预测值和真实值算出来的。“预测值”哪儿来的？需要一个计算方法。为了使MSE最小，一般以一组样本的输出值的均值作为预测值，即:

3.2. 如何让CART回归树的效果更好

由于特征取值为连续值，同时允许重复使用，CART回归树可以生长到非常大的规模，直到每一个样本都拥有一个专门的规则路径——形成非常严重地过拟合。为了抑制这种过拟合的倾向，我们需要对CART回归树进行剪枝，即使用一定的策略，合并一些节点、或者阻止一些节点的分裂。

3.3. CART分类树是什么？

如果特征为连续值，输出为类别，那么我们就需要使用CART的另一种形态，即CART分类树，来解决预测问题。CART分类树和CART回归树的思想和逻辑结构是相同的，二者的主要区别是:样本分组时，评价(特征，取值)的质量指标为gini系数。

3.4. 用python实现一个粗糙的CART回归模型

我用Python实现了一个简单的CART回归模型(https://github.com/lipengyuer/DataScience/blob/master/src/algoritm/CARTRegression.py​github.com

)。“简单”的意思是，优化策略只有一个：限制树的深度。代码中用到的测试数据来自Energy efficiency Data Set​archive.ics.uci.edu

4. 结语

CART可以被看做决策树的升级版本，用于处理连续数据。

决策树的思想虽然比较粗暴，但是可解释很强、计算效率也比较高，应用非常广泛。如果配合剪枝、集成等策略，我们可以基于C4.5、CART这类模型构建出很多非常优秀的模型，比如随机森林、随机梯度上升树等等。

在构建决策树的过程中，我们评估了每一种特征，在对样本进行分组时的能力大小——这个分数可以作为特征工程中，特征选择的依据。因此，有时候我们也会使用决策树来做特征选择。

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