离散数学！

注：不一定是今年考试题

2019年期末题库

填空题

1. 设集合A={1,2,3}, B={2,4,6}，则A-B= {1，3} 。
2. 命题“每一种生物均是动物的否定是 存在一种生物不是动物 。
3. 命题(5<7)Ｖ((9>6)→(6=6))的真值为 真(T) 。
4. 若将否定联结词¬移到谓词的前面，则¬(∃x)P(x)⇔ (∀x)¬P(x) 。
5. 如果有限集合A有n个元素，则其幂集P(A)有 2ⁿ 个元素。
6. 对谓词公式(∃x)A(x)→B，将量词的作用域进行扩张，得到的等价式为 (∀x)(A(x)→B)。
7. 连通图至少有 1颗生成树。

选择题

1. 设P:李明有点愚钝,Q:李明用功，将命题“李明虽然有点愚钝但很用功。”符号化正确的是（ D）。
   A. ¬P∧¬Q
   B. P∨Q
   C. P→Q
   D. P∧Q
2. 下列公式是重言式的是（D）。
   A. (P∨¬Q)→Q
   B. P→(Q∨R)
   C. ¬(P→Q)∧Q
   D. P→(P∨Q)
3. 下列结论中不正确的是（ D）。
   A. 树是连通的
   B. 树是无回路的
   C. 树是无向图
   D. 树是有回路的
4. 设A={1,2,3}，A上二元关系S={<1,1>,<1,2>,< 3,2>,< 3,3>}，则S是（ C）。
   A. 自反关系
   B. 反自反关系
   C. 传递关系
   D. 对称关系
5. 下列关于半群的说法正确的是（ A）。
   A. 运算是封闭的
   B. 运算是可交换的
   C. 有幺元
   D. 有零元
6. 下列结论中不正确的是（ A）。
   A. 任意简单有向图中，任意结点的入度等于出度
   B. 任意简单有向图中，所有结点的入度之和等于边数
   C. 任意简单有向图中，所有结点的度数之和等于边数的两倍
   D. 任意简单有向图中，所有结点的入度之和等于出度之和
7. 设R是集合X上的等价关系，则下列结论中不正确的是（ D）。
   A. R是自反的
   B. R是对称的
   C. R是传递的
   D. R是反自反的

解答题

1. 求命题公式Q∧(Q→P)的主析取范式。

Q	P	Q→P	Q∧(Q→P)
T	T	T	T
T	F	F	F
F	T	T	F
F	F	T	F

主合取范式：P∧Q

3. 构造命题公式¬P∨Q的真值表。

P	¬P	Q	¬P∨Q
T	F	T	T
T	F	F	F
F	T	T	T
F	T	T	T

5. 设A={ x|x是book中的字母}，B={x│x是black中的字母}，求A∪B， A∩B。
   A∪B={b,l,a,c,o,k}
   A∩B={b,k}

6. 设A={a,b,c,d}，R={,,,}是A上的关系。
   (1)求R的自反闭包;
   r( R)={,,,,,,,}
   (2)求R的对称闭包;
   s( R)={,,,,,}
   (3)用Warshall算法求出R的传递闭包;
   
   Warshall算法A:=M_R=
   $$\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
   i=1时，A:= $$\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
   i=2时,A:= $$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
   I=3时，A:= $$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
   i=4时,A:= $$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
   则t( R)={,,,,,,,,}

7. (1)画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图;
   
   (2)画一颗带有权1，3，4，5，6的最优二叉树。
   

证明题

1. 在A中关系R定义为：R，当且仅当|x-y|=|u-v|。
   证明：R是一个等价关系。
   

2. 证明：(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S)⇒S∨R
   

2021年题库(2019级考试真题)

英文版试题翻译来的专业名词不太准确。

A部分（每题4分，共60分）

1. 求下面两个数的最大公约数GCD(欧几里得算法)。
   （219，33）
   219/33=6…21
   33/21=1…12
   21/12=1…9
   12/9=1…3
   9/3=0
   最大公约数是3
2. 利用德摩根定律写出下面公式的等价公式：
   ¬(p∨q)
   等价公式为： ¬p∧¬q
3. 对下列序列求t(3)和t(4)值：
   t(1)=1, t(2)=-2
   t(n)=3×t(n-1)-5×t(n-2)+10(n>2)
   t(3)=3t(2)-5t(1)+10=-6-5+10=-1
   t(4)=3t(3)-5t(2)+10=-3+10+10=17
4. 完成以下二进制的运算：
   10101₂×1001₂
   $$\begin{array}{r}10101\\ \times 1001\\ 10111101\end{array}$$
5. 分析判断下面给出的图，是欧拉图、半欧拉图或两者都不是
   请写出欧拉回路或欧拉通路(如果存在)。
   
   半欧拉图
   欧拉通路:1、2、3、4、5、9、10、8、6、7、E
6. 请用谓词和量词逻辑符号写出下列命题，并确定它的真值。
   存在一个实数x，使得x²+4=0
   设P(x)为实数，Q(x) x²+4=0
   ∃xP(x)∧Q(x)
   真值0
7. 仿射密码提供了一个加密函数
   f(x)=(3x+5) mod 26, x={1,2，…，26}
   找到数字21的加密密码
   f(21)=(3*21+5)%26=16
8. 设p和q是介词。写出(p∨¬q)的真值表

   p	q	¬q	p∨¬q
   1	1	0	1
   1	0	1	1
   0	1	0	0
   0	0	1	1

9. 设函数定义如下
   f: {-1,1,2,3,4} → {0,2,3,4,5}， f(x)=x+1
   求f^-1(4)的值
   f^-1(x)=x-1
   f^-1(4)=4-1=3
10. 在BCD算法中执行以下计算:
    487 + 332
    $$\begin{array}{rcc}0100& 1000& 0111\\ +0011& 0011& 0010\\ 0111& 1011& 1001\\ +1& 0110& \\ 1000& 0001& 1001\\ 8& 1& 9\end{array}$$
11. 证明偶数的平方是偶数。
    设偶数t=2k
    t²=2k×2k=4k²
    4k²一定是偶数
12. 一个IT经理有12台电脑。如果他一个办公室需要5个，他有多少种选择?
    $$C_{12}^5=792$$
13. 描述一个完全图的定义。
    无向完全图：对简单无向图，图中任意两个不同的定点件都有边。有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边
    有向完全图：对简单有向图，任意两个顶点间都有方向互为相反的两条弧。有n个顶点的有向完全图有n(n-1)条弧
14. 如果f是由f(x)=x+1定义的函数，g是g(x)=5的函数，那么求(gof)(x)。
    (gof)(x)=f(g(x))=5+1=6
15. 给出¬Q→P命题的逆命题和反命题。
    反命题：Q→¬P
    逆命题：P→¬Q

B部分（每题10分，共40分）

1. (1)求9041的15位二进制表示。
   010001101010001
   (2)写出(a)中答案的补码。
   010001101010001
   (3)因此或其他方式找到-9041的16位表示
   FFFFFFFFFFFFDCAF
2. (1)假设一棵树有16个顶点。这棵树有多少条边。
   15
   (2)绘制一个顶点具有流动度的树，或解释为什么不存在这样的树:
   (a). 六个顶点，度数为1,1,1,2,2,3;
   

(b). 9个顶点，度数为1、2、2、2、2、2、2、2、3。
不能生成树，理由:略
3. (1)编写一个递归函数算法，以找到下列递归关系的项。
t (1) = 30
t (n) = 2 × t (n - 1) - 5 (n > 1)。

Begin
input n

int t(n)
	if n == 1
	return 30
	return 2*t(n-1)-5
sum = n
output sum
end

由于所掌握的题库并不全，缺少3题一部分和4题

2021年题库(2019级考试真题)英文版，不附答案

Section A

1. Find the greatest common divisor GCD(219, 33).
2. Use De’ Morgan’s Law to write a logical equivalence of ¬(p∨q)
3. Evaluate t(3) and t(4) for the sequence:
   t(1)=1,t(2)=-2
   t(n)=3×t(n-1)- 5×t(n- 2)+10(n>2)
4. Perform the following binary arithmetic:
   101012 × 10012
5. Classify the graph given in each figure below is Eulerian, semi-Eulerian, or neither. Write the Eulerian circuit or Eulerian path if any exists.
6. Write the following proposition symbolically in the notation of quantifying and predicate logic. Determine its truth value.
   ‘There exists a real number x such that x² +4=0.’。
7. An encryption function is provided by an affine cipher
   f:X→X,f(x)=(3x+5)mod 26, X={1,2…,26}
   Find the encryption code for the numbers 21.
8. Let p and q be prepositions. Write a truth table for (p∨¬q).
9. Let the function f be defined as follows:
   f: {-1,1,2,3,4}→{0,2,3,4,5},f(x) =x+1
   Find the value of f^-1(4).
10. Perform the following calculations in BCD arithmetic:
    487 + 332.
11. Prove that square of an even number is even.
12. An IT manager got 12 computers. If he needs 5 of them for an office, how many ways he
    can choose them?
13. Describe the definition of a Complete graph.
14. If f is a function defined by f(x)=x+1 and g is a function such that g(x)=5, then find (fog)(x).
15. Give the converse and the contrapositive of the statement(¬q→p)

Section B

1. ( a ) Find the binary representation of 9041 in 15-bits.
   ( b ) Write the 2’s complement of the answer in ( a ).
   ( c ) Hence or otherwise find the 16-bits representation of -9041.
2. ( i ) Suppose there are 16 vertices in a tree. How many edges this tree can have.
   ( ii )Draw a tree whose vertices have the following degrees, or explain why no
   Such tree exists:
   ( a ) six vertices, with degrees 1,1,1,2,2,3;
   ( b ) Nine vertices, with degrees 1,2,2,2,2,2,2,2,3.
3. ( i ) Write a recursive Function algorithm to find the terms of following recurrence relation.
   t(1)=3
   t(n)=2×t(n-1)-5 (n>1)