[计算几何]知两点坐标求过两点的直线解析式

我们设已知点为 $A(X_1,Y_1)$,$B(X_2,Y_2)$

它们的$X$坐标差为 $X=X_2-X_1$ 它们的$Y$坐标差为 $Y=Y_2-Y_1$

那么我们目前可以得出这样的解析式:$y=\frac{Y}{X}x+c$

$y$ 轴与直线的交点(如上图点 $C$)的$y$坐标与$c$相等

$A(X_1,Y_1)\Rightarrow C(0,Y_1-\frac{Y}{X}{X}_1)$

$Y_1-\frac{Y}{X}{X}_1$

$\Rightarrow Y_1-\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}{X}_1$

$\Rightarrow \frac{(X_2-X_1)Y_1-(Y_2-Y_1)X_1}{X_2-X_1}$

$\Rightarrow \frac{X_2\ast Y_1-X_1\ast Y_1-Y_2\ast X_1+Y_1\ast X_1}{X_2-X_1}$

$\Rightarrow \frac{X_2\ast Y_1-Y_2\ast X_1}{X_2-X_1}$

$\Rightarrow \frac{X_2\ast Y_1-Y_2\ast X_1}{X}$

$c=\frac{X_2\ast Y_1-Y_2\ast X_1}{X}$

直线解析式:$y=\frac{Y}{X}x+\frac{X_2\ast Y_1-Y_2\ast X_1}{X}$

直线解析式两种常见的表达方式:$y=kx+b$ 和 $ax+by+c=0$

我们将刚才推出来的解析式用另外一种方式表示

$y=\frac{Y}{X}x+\frac{X_2\ast Y_1-Y_2\ast X_1}{X}$

$y-\frac{Y}{X}x-\frac{X_2\ast Y_1-Y_2\ast X_1}{X}=0$

$Xy-Yx-(X_2\ast Y_1-Y_2\ast X_1)=0$ 等式两边同时乘$X$

$(X_2-X_1)y-(Y_2-Y_1)x-(X_2\ast Y_1-Y_2\ast X_1)=0$

$(X_2-X_1)y+(Y_1-Y_2)x+(X_1\ast Y_2-Y_1\ast X_2)=0$

$(Y_1-Y_2)x+(X_2-X_1)y+(X_1\ast Y_2-Y_1\ast X_2)=0$

$a=(Y_1-Y_2),b=(X_2-X_1),c=(X_1\ast Y_2-Y_1\ast X_2)$

我们可以用几何面积法验证其正确性

同样的我们设已知点为 $A(X_1,Y_1)$,$B(X_2,Y_2)$

同时我们设在这条直线上的一点 $C(X_0,Y_0)$

那么把等式表示为 $(Y_1-Y_2)X_0+(X_2-X_1)Y_0+(X_1\ast Y_2-Y_1\ast X_2)=0$

$Y_1\ast X_0-Y_2\ast X_0+X_2\ast Y_0-X_1\ast Y_0+X_1\ast Y_2-Y_1\ast X_2=0$

$X_1\ast Y_2-Y_1\ast X_2$ 面积为下图

$Y_1\ast X_0-X_1\ast Y_0$ 面积为下图

$X_2\ast Y_0-Y_2\ast X_0$ 面积为下图

通过面积的加减最后得到的如下图

即 $(X_2-X_0)(Y_0-Y_1)-(Y_2-Y_0)(X_0-X_1)$

我们设 $K=(Y_2-Y_1)/(X_2-X_1)$

$(X_2-X_0)(Y_0-Y_1)-(Y_2-Y_0)(X_0-X_1)=K(X_2-X_0)(X_0-X_1)-K(X_2-X_0)(X_0-X_1)=0$

得证

c++代码计算

void ASL(Line t){ //Analytic straight line
    double a=t.a.Y-t.b.Y,b=t.b.X-t.a.X,c=t.a.X*t1.b.Y-t.b.X*t.a.Y;
    return;
}

应用

• 知一直线和一个在直线上点的$x$坐标求该点坐标的$y$坐标

$ax+by+c=0$

$by=-ax-c$

$y=\frac{-ax-c}{b}$

c++代码计算

double FYC(Line t,double x){ //Find the Y coordinate
    double a=t.a.Y-t.b.Y,b=t.b.X-t.a.X,c=t.a.X*t1.b.Y-t.b.X*t.a.Y;
    return (-a*x-c)/b;
}

• 知一直线和一个在直线上点的$y$坐标求该点坐标的$x$坐标

$ax+by+c=0$

$ax=-by-c$

$x=\frac{-by-c}{a}$

c++代码计算

double FXC(Line t,double x){ //Find the X coordinate
    double a=t.a.Y-t.b.Y,b=t.b.X-t.a.X,c=t.a.X*t1.b.Y-t.b.X*t.a.Y;
    return (-b*y-c)/a;
}