动手学深度学习之语言模型与数据集

语言模型

所谓语言模型，当给定一个长度为$T$的词的序列$w_1,w_2,...,w_T$，语言模型的目标就是评估该序列是否合理，即计算序列的概率：$$P(w_1,w_2,...,w_T)$$ 概率越大，合理性越高。本节介绍基于统计的语言模型，主要是$n$元语法($n$-gram)。

假设序列$w_1,w_2,...,w_T$中每个词是依次生成的，那么序列生成的概率为
$$\begin{array}{rl}P(w_1,w_2,...,w_T)& =\prod _{t=1}^{T}P(w_t\mid w_1,w_2,...,w_{t-1})\\ & =\prod _{t=1}^{T}P(w_1)P(w_2\mid w_1)...P(w_T\mid w_1,w_2,...,w_{T-1})\end{array}$$例如，一段含有4个词的文本序列的概率
$$P(w_1,w_2,w_3,w_4)=P(w_1)P(w_2\mid w_1)P(w_3\mid w_1,w_2)P(w_4\mid w_1,w_2,w_3)$$语言模型的参数就是词的概率以及给定前几个词情况下的条件概率。设训练数据集为一个大型文本语料库，如维基百科的所有条目，词的概率可以通过该词在训练数据集中的相对词频来计算，例如，$w_1$的概率可以计算为：$$\hat{P}(w_1)=\frac{n(w_1)}{n}$$其中$n(w_1)$为语料库中以作为第一个词的文本的数量，$n$为语料库中文本的总数量。

类似的，给定$w_1$情况下，$w_2$的条件概率可以计算为：$$\hat{P}(w_2\mid w_1)=\frac{n(w_1,w_2)}{n(w_1)}$$其中$n(w_1,w_2)$为语料库中以作为第一个词，作为第二个词的文本的数量。

$n$元语法

序列长度增加，计算和存储多个词共同出现的概率的复杂度会呈指数级增加。元语法通过马尔可夫假设简化模型，马尔科夫假设是指一个词的出现只与前面$n$个词相关，即$n$阶马尔可夫链(Markov chain of order)，如果$n=1$，那么有$P(w_3\mid w_1,w_2)=P(w_3\mid w_2)$。基于$n-1$阶马尔可夫链，我们可以将语言模型改写为$$P(w_1,w_2,...,w_T)=\prod _{t=1}^{T}P(w_t\mid w_{t-(n-1)},...,w_{t-1})$$以上也叫$n$元语法($n$-gram)，它是基于$n-1$阶马尔可夫链的概率语言模型。例如，当$n=2$时，含有4个词的文本序列的概率就可以改写为：
$$\begin{array}{rl}P(w_1,w_2,w_3,w_4)& =P(w_1)P(w_2\mid w_1)P(w_3\mid w_1,w_2)P(w_4\mid w_1,w_2,w_3)\\ & =P(w_1)P(w_2\mid w_1)P(w_3\mid w_2)P(w_4\mid w_3)\end{array}$$当$n$分别为1、2和3时，我们将其分别称作一元语法(unigram)、二元语法(bigram)和三元语法(trigram)。例如，长度为4的序列在一元语法、二元语法和三元语法中的概率分别为
$$\begin{array}{rl}P(w_1,w_2,w_3,w_4)& =P(w_1)P(w_2)P(w_3)P(w_4)\\ P(w_1,w_2,w_3,w_4)& =P(w_1)P(w_2\mid w_1)P(w_3\mid w_2)P(w_4\mid w_3)\\ P(w_1,w_2,w_3,w_4)& =P(w_1)P(w_2\mid w_1)P(w_3\mid w_1,w_2)P(w_4\mid w_2,w_3)\end{array}$$当$n$较小时，$n$元语法往往并不准确。例如，在一元语法中，由三个词组成的句子“你走先”和“你先走”的概率是一样的。然而，$n$当较大时，$n$元语法需要计算并存储大量的词频和多词相邻频率。故而$n$元语法存在以下缺陷：

1. 参数空间过大； 例设$n=3$，字典大小为$V$，那么需要维护的参数数量为$V+V^2+V^3$。
2. 数据稀疏；齐夫定律说明大部分词的词频很小，甚至不会在语料库里出现，因此对这些词概率的估计都不准确，而且频率较高的词通常是一些连接词，这些词会有大量的组合，但这些组合根本不会出现，因此都是0，从而使得数据稀疏。齐夫定律：在自然语言的语料库里，一个单词出现的频率与它在频率表里的排名成反比。

读取语言数据集

def load_data_jay_lyrics():
    with open('/home/kesci/input/jaychou_lyrics4703/jaychou_lyrics.txt') as f:
        corpus_chars = f.read()
    corpus_chars = corpus_chars.replace('\n', ' ').replace('\r', ' ')
    corpus_chars = corpus_chars[0:10000]
    idx_to_char = list(set(corpus_chars))# 去重，得到索引到字符的映射
    char_to_idx = dict([(char, i) for i, char in enumerate(idx_to_char)])# 字符到索引的映射
    vocab_size = len(char_to_idx)# 字典大小
    corpus_indices = [char_to_idx[char] for char in corpus_chars]# 将每个字符转化为索引，得到一个索引的序列
    return corpus_indices, char_to_idx, idx_to_char, vocab_size

时序数据的采样

在训练中我们需要每次随机读取小批量样本和标签。与之前章节的实验数据不同的是，时序数据的一个样本通常包含连续的字符。假设时间步数为5，样本序列为5个字符，即“想”“要”“有”“直”“升”。该样本的标签序列为这些字符分别在训练集中的下一个字符，即“要”“有”“直”“升”“机”，即$X$=“想要有直升”，$Y$=“要有直升机”。

现在我们考虑序列“想要有直升机，想要和你飞到宇宙去”，如果时间步数为5，有以下可能的样本和标签：

• $X$：“想要有直升”，$Y$：“要有直升机”
• $X$：“要有直升机”，$Y$：“有直升机，”
• $X$：“有直升机，”，$Y$：“直升机，想”
• …
• $X$：“要和你飞到”，$Y$：“和你飞到宇”
• $X$：“和你飞到宇”，$Y$：“你飞到宇宙”
• $X$：“你飞到宇宙”，$Y$：“飞到宇宙去”

可以看到，如果序列的长度为$T$，时间步数为$n$，那么一共有$T-n$个合法的样本，但是这些样本有大量的重合，我们通常采用更加高效的采样方式。我们有两种方式对时序数据进行采样，分别是随机采样和相邻采样。

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随机采样中，每个样本是原始序列上任意截取的一段序列，相邻的两个随机小批量在原始序列上的不一定相毗邻。
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import torch
import random
# 批量大小batch_size是每个小批量的样本数，num_steps是每个样本所包含的时间步数
def data_iter_random(corpus_indices, batch_size, num_steps, device=None):
    # 减1是因为对于长度为n的序列，X最多只有包含其中的前n - 1个字符
    num_examples = (len(corpus_indices) - 1) // num_steps  # 下取整，得到不重叠情况下的样本个数
    example_indices = [i * num_steps for i in range(num_examples)]  # 每个样本的第一个字符在corpus_indices中的下标
    random.shuffle(example_indices)

    def _data(i):
        # 返回从i开始的长为num_steps的序列
        return corpus_indices[i: i + num_steps]
    if device is None:
        device = torch.device('cuda' if torch.cuda.is_available() else 'cpu')
    
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        # 每次选出batch_size个随机样本
        batch_indices = example_indices[i: i + batch_size]  # 当前batch的各个样本的首字符的下标
        X = [_data(j) for j in batch_indices]
        Y = [_data(j + 1) for j in batch_indices]
        yield torch.tensor(X, device=device), torch.tensor(Y, device=device)


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在相邻采样中，相邻的两个随机小批量在原始序列上的位置相毗邻。
'''
def data_iter_consecutive(corpus_indices, batch_size, num_steps, device=None):
    if device is None:
        device = torch.device('cuda' if torch.cuda.is_available() else 'cpu')
    corpus_len = len(corpus_indices) // batch_size * batch_size  # 保留下来的序列的长度
    corpus_indices = corpus_indices[: corpus_len]  # 仅保留前corpus_len个字符
    indices = torch.tensor(corpus_indices, device=device)
    indices = indices.view(batch_size, -1)  # resize成(batch_size, )
    batch_num = (indices.shape[1] - 1) // num_steps
    for i in range(batch_num):
        i = i * num_steps
        X = indices[:, i: i + num_steps]
        Y = indices[:, i + 1: i + num_steps + 1]
        yield X, Y

'''
测试函数，输入从0到29的连续整数作为一个人工序列，
设批量大小和时间步数分别为2和6，打印随机采样每次读取的小批量样本的输入X和标签Y。
'''
my_seq = list(range(30))
for X, Y in data_iter_random(my_seq, batch_size=2, num_steps=6):
    print('X: ', X, '\nY:', Y, '\n')
'''
同样的设置下，打印相邻采样每次读取的小批量样本的输入X和标签Y。
'''
for X, Y in data_iter_consecutive(my_seq, batch_size=2, num_steps=6):
    print('X: ', X, '\nY:', Y, '\n')

# ---------------------随机采样---------------------
X:  tensor([[18, 19, 20, 21, 22, 23],
        [ 6,  7,  8,  9, 10, 11]], device='cuda:0') 
Y: tensor([[19, 20, 21, 22, 23, 24],
        [ 7,  8,  9, 10, 11, 12]], device='cuda:0')

X:  tensor([[12, 13, 14, 15, 16, 17],
        [ 0,  1,  2,  3,  4,  5]], device='cuda:0')
Y: tensor([[13, 14, 15, 16, 17, 18],
        [ 1,  2,  3,  4,  5,  6]], device='cuda:0')
# ---------------------相邻采样---------------------
X:  tensor([[ 0,  1,  2,  3,  4,  5],
        [15, 16, 17, 18, 19, 20]], device='cuda:0') 
Y: tensor([[ 1,  2,  3,  4,  5,  6],
        [16, 17, 18, 19, 20, 21]], device='cuda:0')

X:  tensor([[ 6,  7,  8,  9, 10, 11],
        [21, 22, 23, 24, 25, 26]], device='cuda:0')
Y: tensor([[ 7,  8,  9, 10, 11, 12],
        [22, 23, 24, 25, 26, 27]], device='cuda:0')