三角形和矩形傅里叶变换_第3章傅立叶变换.doc

第3章傅立叶变换

第三章 连续信号与系统的频域分析

1、求图(a)中所示梯形信号的傅里叶变换

图(a)

图(b)

图(1) 梯形信号的微分求解

解：求信号的频谱有多种解法，可按定义、微分性质等求解，下面列出几种解法。

(1) 用微分性质求解

对梯形信号进行微分，所得波形如图(b) 所示，再利用微分性质和矩形脉冲信号的傅里叶变换可得

此外，还可对梯形信号进行两次微分，所得波形如图(2)所示，再利用微分性质及冲激信号的傅里叶变换可得

图(2)梯形信号的二次微分

(2) 用线性性质求解

可以将梯形信号看作图(3)中两个三角形信号相减，即

再利用三角形的变换式可求得

?

图(3)梯形信号的三角形分解

(3) 利用卷积性质求解

可将梯形信号看作两个脉宽不同的矩形脉冲的卷积，如图(4)所示，即

一般，若两个矩形的脉宽相同，则所得结果为三角形；若脉宽不同，则所得结果为梯形。此时，梯形的脉宽等于两个矩形的脉宽和，而梯形的最大幅度等于两个矩形最大重叠区的面积。

这样，利用卷积性质可知

而两个矩形信号的频谱分别为

因此，梯形信号的频谱为

图(4)利用卷积性质求梯形信号的频谱

?小结：在计算复杂信号的频谱时，尽量利用傅立叶变换的性质，将复杂信号通过卷积、微分等基本运算转化为简单信号以后再计算这些简单信号的频谱，简化运算过程。 2、系统如下图所示

理想低通滤波器的频率特性为

(1) 求虚线框所示系统的冲激响应；

(2) 若输入信号，求系统输出信号；

(3) 若输入信号，求系统输出信号；

系统框图

解： (1) 冲激响应定义为单位冲激信号激励下的零状态响应。为求得该系统的冲激响应，可将输入信号设为冲激函数，而所求得的系统响应即冲激响应。

当时，由系统框图可得

这里，为理想低通滤波器的冲激响应。该式表明，所求系统的冲激响应和理想低通滤波器的冲激响应相同。而由可求得

(2) 由输入信号可知，是一个已调信号，其调制信号为，载波为，载波频率等于。当通过系统和相乘时，相当于对已调信号进行解调，从而可以通过一个低通滤波器恢复出调制信号。对这类问题，从频域分析求解较为方便。为此，可先求出调制信号的频谱。

由于是抽样函数的平方，即

而抽样函数的频谱为一矩形脉冲，即

故调制信号的频谱是这个矩形脉冲自身的卷积，其卷积结果是三角脉冲，即

借助图解，可求得这个卷积的结果如下图所示

卷积过程及波形

由于，根据傅里叶变换的调制定理，可求得已调信号的频谱为

下图是的示意图。

输入信号的频谱

如果设解调出来的信号为，则，其频谱为

通过理想低通后，所得信号频谱为，当输入为时，系统的输出为

可见，上述系统是一个同步解调系统。

滤波器输入、输出频谱

(3) 当系统输入时，按照 的求解过程，可以求得此时系统的输出为0，之所以为0，其原因在于解调系统的本地载波的相位和发送载波不同，两者相差，故而使得解调出来的信号在频段内为0，故低通滤波器的输出也为0。

小结：信号的调制过程为，调制信号的频谱为

也就是调制过程是将信号频谱搬移到和处。对于解调过程，，所以解调信号的频谱为

此时，和对应的是高频信号，所以只要对解调后的信号通过一个 低通滤波器，就可以滤除频率分别为和的信号，而让信号通过，从而实现解调。 因此，低通滤波器的系统函数为３、设某系统的系统函数为，试求其冲击响应及输入为时的零状态响应。

解：因为

所以冲击响应为

当输入为时，系统的零状态响应为

所以

小结：利用傅立叶变换性质中的卷积特性来求系统的零状态响应，综合表示为下列表达形式

通过逆变换求原始信号时，必须将信号的谱函数分解为单极点或重极点的形式，即

此时，对应的时域信号为

8