迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的,因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法,解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始,采用贪心算法的策略,每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点,直到扩展到终点为止。——百度百科
通过Dijkstra计算图G中的最短路径时,需要指定起点vs(即从顶点vs开始计算)。
此外,引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点,而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点vs的距离)。
初始时,S中只有起点vs;U中是除vs之外的顶点,并且U中顶点的路径是"起点vs到该顶点的路径"。然后,从U中找出路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后,再从U中找出路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。 … 重复该操作,直到遍历完所有顶点。
(1) 初始时,S只包含起点vs;U包含除vs外的其他顶点,且U中顶点的距离为"起点vs到该顶点的距离"[例如,U中顶点v的距离为(vs,v)的长度,然后vs和v不相邻,则v的距离为∞]。
(2) 从U中选出"距离最短的顶点k",并将顶点k加入到S中;同时,从U中移除顶点k。
(3) 更新U中各个顶点到起点vs的距离。之所以更新U中顶点的距离,是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点,从而可以利用k来更新其它顶点的距离;例如,(vs,v)的距离可能大于(vs,k)+(k,v)的距离。
(4) 重复步骤(2)和(3),直到遍历完所有顶点。
上述内容摘自:添加链接描述
int dist[510];//dist[i]存储S到i结点的最短距离
int book[510];//标记i结点是否访问
int v[510][510];//存储图信息
//主要思想一个大循环+两个小循环
void dijkstra(){
int u, minx;
book[S] = 1;
for(int i = 0; i < N; i++){
//dist[]数组初始化,把起始结点S到i结点的距离赋值给diat[i]
dist[i] = v[S][i];
}
for(int i = 0; i < N; i++){//大循环
minx = INT_MAX;
for(int j = 0; j < N; j++){//寻找没有被标记并且最短的路径,并记录此结点
if(!book[j] && minx > dist[j]){
minx = dist[j];
u = j;
}
}
book[u] = 1;
for(int k = 0; k < N; k++){
//如果A到B的距离大于A到C的距离加C到B的距离,那么更新数据
if(!book[k] && dist[k] > dist[u]+v[u][k]){
dist[k] = dist[u]+v[u][k];
}
}
}
}
一、落谷P1339 [USACO09OCT]Heat Wave G
AC代码:
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int v[2505][2505];//存储邻接矩阵图
int dist[2505];//dist[i]表示到i结点的最短路
int book[2505];//标记该结点是否访问
int n, m, s, t;
void dijkstra(){
//一个大循环套两个小循环
int u, min;
book[s] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++){
//dist数组初始化,把起点到各点的权值赋值给dist
dist[i] = v[s][i];
}
for(int k = 1; k <= n; k++){//大循环
min = INT_MAX;
for(int i = 1; i <= n; i++){
//寻找没有被标记并且最小的权值,并记录该结点
if(!book[i] && min > dist[i]){
min = dist[i];
u = i;
}
}
book[u] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++){
//更新dist数组,如果A到B的距离大于A到C到B的距离,则更新A到B的最短距离
if(!book[i] && dist[i] > dist[u]+v[u][i]){
dist[i] = dist[u]+v[u][i];
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &s, &t);
//初始化v数组,最大数
// for(int i = 0; i < 2500; i++){
// fill(v[i], v[i]+2500, INT_MAX);
// }
memset(v, 0x3f, sizeof v);
for(int i = 1; i <= m; i++){
int u, g, w;
scanf("%d %d %d", &u, &g, &w);
v[u][g] = v[g][u] = min(v[u][g], w);
}
dijkstra();
printf("%d", dist[t]);
}
下面代码可输出最短路径所经过的结点(dijkstra + dfs):
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int N, M, S, D;
int dist[510];//dist[i]存储S到i结点的最短距离
int book[510];//标记i结点是否访问
int pre[510];//存储最短路径所经过的结点
int v[510][510];//存储图信息
void dijkstra(){
int u, minx;
book[S] = 1;
for(int i = 0; i < N; i++){
dist[i] = v[S][i];
}
for(int i = 0; i < N; i++){
minx = INT_MAX;
for(int j = 0; j < N; j++){//寻找没有被标记并且最短的路径,并记录此结点
if(!book[j] && minx > dist[j]){
minx = dist[j];
u = j;
}
}
book[u] = 1;
for(int k = 0; k < N; k++){
if(!book[k] && dist[k] > dist[u]+v[u][k]){
dist[k] = dist[u]+v[u][k];
pre[k] = u;
}
else if(!book[k] && dist[k] == dist[u]+v[u][k]){
pre[k] = u;
}
}
}
}
void dfs(int start, int end){
if(start == end){
printf("%d ", start);
return;
}
dfs(start, pre[end]);
printf("%d ", end);
}
int main(){
scanf("%d %d %d %d", &N, &M, &S, &D);
fill(v[0], v[0]+510*510, INT_MAX-1);
for(int i = 0; i < M; i++){
int a, b, c, d;
scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
v[a][b] = v[b][a] = min(v[a][b], c);
}
dijkstra();
dfs(S, D);
printf("%d", dist[D]);
return 0;
}
二、1030 Travel Plan (30分)——C/C++(dijsktra + DFS)
AC代码:
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int N, M, S, D;
int dist[510];//dist[i]存储S到i结点的最短距离
int book[510];//标记i结点是否访问
int v[510][510];//存储图信息
int cost[510][510];//存储花费信息
vector <int> pre[510];//存储最短路径所经过的结点
vector <int> path, temppath;
int mincost = INT_MAX;
void dijkstra(){
fill(dist, dist+510, INT_MAX-1);
int u, minx;
pre[S].push_back(S);
dist[S] = 0;
for(int i = 0; i < N; i++){
minx = INT_MAX;
for(int j = 0; j < N; j++){//寻找没有被标记并且最短的路径,并记录此结点
if(!book[j] && minx > dist[j]){
minx = dist[j];
u = j;
}
}
book[u] = 1;
for(int k = 0; k < N; k++){
if(!book[k] && v[u][k] != INT_MAX){
if(dist[k] > dist[u]+v[u][k]){
dist[k] = dist[u]+v[u][k];
pre[k].clear();
pre[k].push_back(u);
}
else if(dist[k] == dist[u]+v[u][k]){
pre[k].push_back(u);
}
}
}
}
}
void dfs(int v){
temppath.push_back(v);
if(S == v){
int tempcost = 0;
for(int i = temppath.size()-1; i >= 1; i--){
int id = temppath[i], id1 = temppath[i-1];
tempcost += cost[id][id1];
}
if(mincost > tempcost){
mincost = tempcost;
path = temppath;
}
temppath.pop_back();
return;
}
for(int i = 0; i < pre[v].size(); i++){
dfs(pre[v][i]);
}
temppath.pop_back();
}
int main(){
scanf("%d %d %d %d", &N, &M, &S, &D);
fill(v[0], v[0]+510*510, INT_MAX-1);
for(int i = 0; i < M; i++){
int a, b, c, d;
scanf("%d %d %d %d", &a, &b, &c, &d);
v[a][b] = v[b][a] = min(v[a][b], c);
cost[a][b] = cost[b][a] = d;
}
dijkstra();
dfs(D);
for(int i = path.size()-1; i >= 0; i--){
printf("%d ", path[i]);
}
printf("%d %d", dist[D], mincost);
return 0;
}
三、题目连接:洛谷P3317
AC代码:
#include
#include
#include
using namespace std;
struct Edge{
int to, w, next;
}edge[1000010];
int dist[10010];
int head[10010];
int book[10010];
int n, m, s, idx = 1;
void add(int a, int b, int c){
edge[idx].to = b;
edge[idx].w = c;
edge[idx].next = head[a];
head[a] = idx++;
}
void dijkstra(){
fill(dist, dist + 10010, INT_MAX);
dist[s] = 0;
int temp = s;
while(!book[temp]){
book[temp] = 1;
for(int i = head[temp]; i != -1; i = edge[i].next){
if(!book[edge[i].to] && dist[edge[i].to] > dist[temp] + edge[i].w){
dist[edge[i].to] = dist[temp] + edge[i].w;
}
}
int minn = INT_MAX;
for(int i = 1; i <= n; i++){
if(!book[i] && minn > dist[i]){
minn = dist[i];
temp = i;
}
}
}
}
int main(){
fill(head, head + 10010, -1);
scanf("%d %d %d", &n, &m, &s);
for(int i = 0; i < m; i++){
int a, b, c;
scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
add(a, b, c);
}
dijkstra();
for(int i = 1; i <= n; i++){
if(i < n)
printf("%d ", dist[i]);
else
printf("%d", dist[i]);
}
return 0;
}