决策树算法之分类回归树 CART（Classification and Regression Trees）【2】
上一篇文章主要介绍了分类树，下面我们再一起来看一下回归树，我们知道，分类决策树的叶子节点即为分类的结果；同理，回归树的叶子节点便是连续的预测值。那么，同样是回归算法，线性回归和决策树回归有什么区别呢？区别在于，前者拟合的是一条直线，而后者却可以拟合非线性的数据，如下图中的数据就是用线性回归来拟合的：
当数据呈现非线性分布时，例如下面的数据，假设它统计了流行歌手的喜好程度和年龄的关系，该系数值在 10 岁之前很低，接着在 10 到 20 岁时达到最高，但随着年龄的增加，该兴趣度会逐渐下降，如图所示：
上面的数据如果用线性回归来拟合，是这样的：
很明显，这样做会得到较大的 Bias，那么该数据就不应该使用线性回归这种简单的模型来表征，此时就需要用到非线性模型了，而回归树就是其中的一种。下边左图便是使用回归树对该数据进行拟合的结果，而右边是这棵树具体的样子：当 age 小于等于 13 时，结果为 1.228；age 大于 31 时，结果是 0.41；age 在 (13, 21] 的区域，结果为 100，剩下区域的结果为 54。
下面我们具体看一下这棵回归树是如何构建的
构建回归树
首先，我们在整个样本空间中选择一个阈值，该阈值可以将样本分为两部分，接下来分别对这两部分求出它们的均值，以均值作为预测值，计算所有数据的真实值到预测值之间的 SSR（Sum of Squared Residuals），SSR 本质上和 MSE（Mean Squared Error）的概念是一致的，都是衡量整体预测值和真实值之间的差异的，该差异越小越好。
以本数据为例，刚开始我们选择的阈值 threshold 为 1，则下图中的样本被阈值（虚线）分为两部分，然后分别对左右两边的数据求平均，结果如图中两条水平实线所示，以水平线作为每个区域的预测值，接着我们对每个点，求它们离均值之间的差的平方（误差的平方），并把它们加起来，得到的结果就是 SSR。
上图中的 SSR 为
S S R = ( 0 − 0 ) 2 + ( 0 − 35.8 ) 2 + . . . + ( 0 − 35.8 ) 2 = 31358 SSR = (0-0)^2 + (0-35.8)^2 + ... + (0-35.8)^2 = 31358 SSR=(0−0)2+(0−35.8)2+...+(0−35.8)2=31358
每算完一个 SSR，都要改变阈值，用同样的方法在新的分类下算一个新的 SSR，如此循环下去，直到遍历完所有可能的域值，此时我们就可以作出一个「域值-SSR」的关系图，如下：
以上过程的目的是为了找一个阈值，可以使得 SSR 达到最小，而可以使 SSR 最小的域值就是我们的树根。反过来理解一下，即我们需要在特征空间（定义域）找到一个值，该值把样本分为两类，分别对应了 2 个不同的预测结果，此预测结果和样本真实值（值域）之间的差异要越小越好，在本例中，该值为 13，示意图如下：
和分类树一样，只要确定了树根的构建算法，后面构造其他节点实际上和构造树根是一模一样的，以上图为例，即分别以树的左右两边的子样本空间为整个样本空间，继续构造子样本空间的“树根”，实际上这就是递归，同时在递归的过程中，随着树的节点不断分裂，我们得到的残差（SSR）会越来越小。
需要注意的是，决策树如果不设限制，它的节点可以无限分裂下去，直到叶子节点中只包含 1 个元素为止，此时整棵树的残差达到最小值 0，这样做会让我们的模型在训练时得到很低的 Bias，但可想而知的是它的泛化能力很弱，即 Variance 很高，于是便过拟合了，这也是决策树容易过拟合的原因。
为了防止过拟合，通常有 2 个参数可以设置，一个是树的高度，另一个是叶子节点中最小样本的个数，本文中的模型对这两个参数的设置分别是 3 和 4；在真实环境中，叶子节点的样本数一般会设在 20 以上。
多维度特征的回归树
上面例子是使用单特征（年龄）来构建回归树，真实项目往往会有多个特征，此时我们该如何做呢？我们在原来的数据集中增加两个特征：性别和月支出，如下
| 年龄 | 性别 | 月支出 | 流行歌手喜好度 |
|---|---|---|---|
| 3 | male | 300 | 0 |
| 7 | female | 300 | 5 |
| 13 | female | 500 | 90 |
| 17 | male | 500 | 85 |
| 18 | female | 500 | 99 |
| 25 | male | 4000 | 75 |
| 30 | female | 5000 | 40 |
| 35 | male | 7000 | 0 |
现在我们知道了，构造决策树的要点在于树根的构造，多个特征的话，我们需要分别对每个特征，找出可以使 SSR 最低的阈值，根据前面学到的知识，对年龄来说，可使 SSR 最低的域值是 「age<=7」，此时 S S R a g e = 7137 SSR_{age}=7137 SSRage=7137；
同理，对月支出来说，可使 SSR 最低的域值是 「expense<=300」，此时 S S R e x p e n s e = 7143 SSR_{expense}=7143 SSRexpense=7143。
而性别这个特征比较特别，它只有一个阈值，其 S S R g e n d e r = 12287 SSR_{gender}=12287 SSRgender=12287。
以上三个数字，有兴趣的同学可以根据上面的表格自己算一下，最终我们选择 SSR 最低的特征及其阈值作为根节点，即「age<=7」。
知道根节点如何产生后，后面节点的生成就好办了，于是多维特征的回归树我们也构建出来了。
总结
本文主要介绍回归决策树的生成算法，及回归树中比较重要的参数为：树的深度和叶子节点中最小的样本数，这两个参数可以防止过拟合问题。
最后我们一起学习了从多个特征维度来产生回归树，它和单维度特征的区别在于，每产生一个节点前，都需要计算每个特征的 S S R m i n SSR_{min} SSRmin 及其对应的阈值，最后取其中最小的 S S R m i n SSR_{min} SSRmin 对应的特征和阈值作为该节点。
参考资料：Regression Trees, Clearly Explained
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