蓝田心语
蓝田心语

矩阵的相关的一些基础知识

矩阵A\in R_{m*n}

1. 矩阵列范数 

\left \| A \right \|_1=\underset{1\leq j\leq n}{max} \overset{m}{\underset{i=1}{\sum}}\left | a_{ij} \right |

2. 矩阵的行范数

\left \| A \right \|_\infty=\underset{1\leq i\leq m}{max} \overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}\left | a_{ij} \right |

3. 矩阵的F范数 

 \left \| A \right \|_F=\sqrt{tr(A^{T}A)} =\overset{m}{\underset{i=1}{\sum}}\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}a_{ij}^2

4. 矩阵的L_{2,1}范数

\left \| A \right \|_{2,1}=\overset{m}{\underset{i=1}{\sum}} \sqrt{\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}a_{ij}^2}

即先对每一行这样的一个向量，求向量的L2范数，然后再对得到的那个列向量求一次L1范数

5. 矩阵的2范数 

\left \| A \right \|_{2}=\sqrt{\lambda_{max}(A^{T}A)}

 其中\lambda_{max}表示求矩阵的最大特征值

 6. 核范数：矩阵的奇异值之和

\left \| A \right \|_{*}=tr(\sqrt{(A^{T}A)})=tr(\sum)

A=U\sum{V^T}

7. 矩阵的L_0范数

 \left \| A \right \|_{0}=number \, of \, nonzero \, entries \, in \, A

8. 矩阵的L_{2,0}范数 

 \left \| A \right \|_{2,0}=\overset{m}{\underset{i=1}{\sum}} \left \|\sqrt {\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}a_{ij}^2} \right \|_0

即先对每行做一个L_2范数，然后再计算生成的列向量中非零元素的个数。

e.g. 统计矩阵中非零行的个数

9. Trace: 矩阵的迹 

tr(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn} 

矩阵的迹表示的是特征值的和，它不随基的变化而变化。通常，这种特性可以用来定义线性算子的轨迹。（注意：迹是对方阵而言的） 

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