1.7 周期矩阵

幂等矩阵

  幂等这个概念，在Java开发或其他语言的接口开发中很常见，在接口开发中的意思是重复调用接口，效果和只调用一次一样，这样可以避免重复调用接口产生数据错误。幂等矩阵Idempotent Matrix，是指一个矩阵乘以自己等于自己，再乘自己还是等于自己，无论乘多少次都是自己，这就和接口幂等是一个意思，无论多少次方和一次方是一样的。
  毫无疑问，单位矩阵就是这样的矩阵，再举个不是单位矩阵的例子：
( 2 − 3 − 5 − 1 4 5 1 − 3 − 4 ) × ( 2 − 3 − 5 − 1 4 5 1 − 3 − 4 ) = ( 2 − 3 − 5 − 1 4 5 1 − 3 − 4 ) \begin{pmatrix}2 & -3 & -5\\ -1 & 4 & 5\\ 1 & -3 & -4\\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 & -3 & -5\\ -1 & 4 & 5\\ 1 & -3 & -4\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -3 & -5\\ -1 & 4 & 5\\ 1 & -3 & -4\\ \end{pmatrix} ​2−11​−34−3​−55−4​ ​× ​2−11​−34−3​−55−4​ ​= ​2−11​−34−3​−55−4​ ​
  幂等矩阵就是$A^2=A$的一类特殊方阵，那么有没有$A^k=A,k>2$的矩阵呢？这就引出了周期矩阵的概念。

周期矩阵

  周期矩阵肯定是存在的，幂等矩阵可以看作一类特殊的周期矩阵，也就是周期为1的矩阵。周期是幂减去1啊，因为如果三次方等于自己，那么中间就夹着一个矩阵，距离就是2，如下所示：
$$A,A^2,A,A^2,A,\cdots$$
  我举一个周期为2的矩阵作为例子：
A = ( 1 − 2 − 6 − 3 2 9 2 0 − 3 ) A 2 = ( − 5 − 6 − 6 9 10 9 − 4 − 4 − 3 ) A 3 = ( 1 − 2 − 6 − 3 2 9 2 0 − 3 ) = A A=\begin{pmatrix}1 & -2 & -6\\ -3 & 2 & 9\\ 2 & 0 & -3\\ \end{pmatrix}\\ A^2 = \begin{pmatrix}-5 & -6 & -6\\ 9 & 10 & 9\\ -4 & -4 & -3\\ \end{pmatrix}\\ A^3= \begin{pmatrix}1 & -2 & -6\\ -3 & 2 & 9\\ 2 & 0 & -3\\ \end{pmatrix}=A A= ​1−32​−220​−69−3​ ​A2= ​−59−4​−610−4​−69−3​ ​A3= ​1−32​−220​−69−3​ ​=A

周期矩阵的性质

  周期矩阵拥有以下性质，名词看不懂的，我都给了链接。

1. 幂等矩阵的1阶迹等于它的秩；
2. 幂等矩阵的特征值要么是0，要么是1；
3. 除单位矩阵外的幂等矩阵，都是不可逆矩阵。
4. 如果周期矩阵可逆，周期为$k$，也就是，$A^{k+1}=A$，那么$A^k=I$。
5. 如果周期矩阵可逆，那么它的逆矩阵也是周期矩阵。
6. $k\times k$的循环矩阵是周期为$k$的周期矩阵。
7. 多项式$x^k-x+1$的友矩阵是周期为$k$的周期矩阵。