3.7 克拉默法则

理论

  行列式可以用来解线性方程组。对于常数项都是0并且系数矩阵是个方针的齐次线性方程组来说，如果行列式不为0，那么方程组只有零解，行列式为零的话，则有无穷个解。对于常数项不为0的非齐次线性方程组，那就复杂了。如果系数矩阵是个方阵，这时候可以用到克拉默法则，但是我不建议使用克拉默法则，因为计算量太大了。具体为什么计算量大，且让我慢慢说。
  克拉默法则Cramer’s rule说的是对于系数矩阵为方阵的方程组来说，如果行列式不为0，那么方程的解为：
$$x_i=\frac{|B_i|}{|A|}$$
  $B_i$是什么？$B_i$就是将常数项代替系数矩阵的第$i$列形成的新矩阵。所以我说计算量大嘛，对于一个$n$元方程组来说，这得计算$n+1$次行列式，简直就是折磨。解方程还是高斯消元最香，计算量小。
  我举个用克拉默法则解方程的例子：
( − 1 1 − 1 2 1 − 1 2 2 1 1 2 − 1 2 − 1 1 1 ) x = ( 1 3 4 5 ) ∣ − 1 1 − 1 2 1 − 1 2 2 1 1 2 − 1 2 − 1 1 1 ∣ = 21 x = ( ∣ 1 1 − 1 2 3 − 1 2 2 4 1 2 − 1 5 − 1 1 1 ∣ 21 ∣ − 1 1 − 1 2 1 3 2 2 1 4 2 − 1 2 5 1 1 ∣ 21 ∣ − 1 1 1 2 1 − 1 3 2 1 1 4 − 1 2 − 1 5 1 ∣ 21 ∣ − 1 1 − 1 1 1 − 1 2 3 1 1 2 4 2 − 1 1 5 ∣ 21 ) = ( 3 2 0 1 ) \begin{pmatrix}-1 & 1 & -1 & 2\\ 1 & -1 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 2 & -1\\ 2 & -1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}x=\begin{pmatrix}1\\ 3\\ 4\\ 5\\ \end{pmatrix}\\ \begin{vmatrix}-1 & 1 & -1 & 2\\ 1 & -1 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 2 & -1\\ 2 & -1 & 1 & 1\\ \end{vmatrix}=21\\ x=\begin{pmatrix} \frac{ \begin{vmatrix}1 & 1 & -1 & 2\\ 3 & -1 & 2 & 2\\ 4 & 1 & 2 & -1\\ 5 & -1 & 1 & 1\\ \end{vmatrix}}{21}\\ \frac{ \begin{vmatrix}-1 & 1 & -1 & 2\\ 1 & 3 & 2 & 2\\ 1 & 4 & 2 & -1\\ 2 & 5 & 1 & 1\\ \end{vmatrix}}{21}\\ \frac{ \begin{vmatrix}-1 & 1 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 3 & 2\\ 1 & 1 & 4 & -1\\ 2 & -1 & 5 & 1\\ \end{vmatrix}}{21}\\ \frac{ \begin{vmatrix}-1 & 1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2 & 4\\ 2 & -1 & 1 & 5\\ \end{vmatrix}}{21}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix} ​−1112​1−11−1​−1221​22−11​ ​x= ​1345​ ​ ​−1112​1−11−1​−1221​22−11​ ​=21x= ​21 ​1345​1−11−1​−1221​22−11​ ​​21 ​−1112​1345​−1221​22−11​ ​​21 ​−1112​1−11−1​1345​22−11​ ​​21 ​−1112​1−11−1​−1221​1345​ ​​​ ​= ​3201​ ​

Python代码

  直接按照公式来计算就行了：

    # 克拉默法则求方程组的解
    def cramer(self, values):
        det = self.cofactor_expansion()
        if det == 0:
            return
        result = [0 for _ in self.__vectors]
        for i, vector in enumerate(self.__vectors):
            array = copy.deepcopy(self.__vectors)
            array[i] = values
            matrix = Matrix(array)
            result[i] = matrix.cofactor_expansion() / det
        return result

  测试代码：

# _*_ coding:utf-8 _*_
import unittest

from com.youngthing.mathalgorithm.matrix import Matrix


class MyTestCase(unittest.TestCase):

    def test(self):
        a = Matrix(
            [[-1, 1, 1, 2],
             [1, -1, 1, -1],
             [-1, 2, 2, 1],
             [2, 2, -1, 1]
             ])
        print("A=", a.to_latex())
        values = [1, 3, 4, 5]
        print(Matrix([values]).to_latex())
        cramer = a.cramer(values)
        print(Matrix([cramer]).to_latex())


if __name__ == '__main__':
    if __name__ == '__main__':
        unittest.main()

结语

  其实克拉默法则不是用来解方程的，而是用来判断方程组有没有解的。因为克拉默法则要除于系数矩阵的行列式，所以可以用行列式是否为0来判断方程有没有解，有多少个解。但是有比行列式更好的东西可以用来分析方程组解的情况，这就是接下来我要介绍的——矩阵的秩。