多目标进化算法——NSGA-II（python实现）

前言

  由于NSGA-II是基于遗传算法的，所以在讲解NSGA-II之前，我们先对遗传算法有一些基本的了解——遗传算法经常用于单目标优化问题，所进行操作的基本流程如下

1. 通过解的二进制值进行交叉变异产生不同的解
2. 依据适应度函数，得到每个解的适应值
3. 根据适应值的大小来对当前解集合，进行排序筛选。
4. 再对筛选出的个体进行新一轮的交叉变异，循环往复使得解集合越来越逼近真实的优化目标。

  NSGA-II所做的其实就是把排序的依据改变——就是“如何评判一个解的优劣”，在传统遗传算法中，使用的是适应度函数值，这也是因为传统遗传算法多用在单目标的优化问题中，使用能够使用这一个指标来判断。
下面是遗传算法中一些名词的对应关系：

数学概念	生物概念
当前的解集合	当前的种群
解集合中的每个解	种群中的个体

NSGA-II

但对于一个多目标优化问题来说，它的最优解不再是一个值，而是在多维空间中的一个pareto前沿：一个最优解的集合。因此对于迭代过程中未到达pareto前沿的解来说，评判其优劣应当从两个方面来入手——
收敛性——解靠近pareto前沿的程度（或速度）
分布性——当前解集是否尽可能地覆盖到了pareto前沿。
所以NSGA-II的作者Deb提出了评价当前解集合优劣的两个指标：

1. 非支配排序
2. 拥挤度距离排序

下面为了方便讲解，我们以双目标的最小化优化问题举例说明，因为这样能够在几何意义上，放在二维平面图中帮助我们去理解。
$$\begin{gathered} minF(x)=\{f_1(x),f_2(x){\}}^T \\ st.x\in X \\ X\subset {\mathbb{R}}^2 \end{gathered}$$

非支配排序

支配关系

  首先，需要了解两个解的支配关系。我们举例来说明，如果两个目标都是最小化目标的话，说明目标函数值越小，越好。则假设
给定个体 $x_0$，
目标函数值 $F(x_0)=(f_1(x_0),f_2(x_0))=(1,1)$
再给定另外的个体 $x_1$，
目标函数值 $F(x_1)=(f_1(x_1),f_2(x_1))=(2,2)$
  我们可以发现， 在两个目标函数方向（objective），$x_0$ 所求的目标函数值 $(1,1)$ 都比 $x_1$ 的目标函数值 $(2,2)$ 小，而同时两个优化方向都是最小化。所以 $x_0$ 所得解的效果要要好于 $x_1$ ，即 $x_0$ 支配 $x_1$。
  同样的，当一个方向上相等，支配关系又另一个方向目标函数值的大小来决定，例如： $(1,2)$ 支配 $(2,2)$。
  如果在二维平面图上用几何意义来理解的话，就是由原点开始向外做同心圆，内侧圆上的点支配外侧圆上的点。（当然仅限于两个目标，且优化方向都是最小化）

非支配关系

  但是我们会遇到另外一种情况，例如 $(1,2)$ 和 $(2,1)$ ，显然在一个方向上2 > 1,但在另一个方向上1 < 2，对应在几何意义上，就是这两个点在同一个圆上。像这种彼此没有明确的支配关系，即双方无法支配对方的时候，两者的关系就是非支配关系。
   综上对于两个个体而言，他们的大小关系便可以对应为两者的支配关系。所以在类定义中，我重载了小于号的方法，方便在代码中比较两个个体的支配关系。

    # 重载小于号“<”
    def __lt__(self, other):
        v1 = list(self.objective.values())
        v2 = list(other.objective.values())
        for i in range(len(v1)):
            if v1[i] > v2[i]:
                return 0  # 但凡有一个位置是 v1大于v2的 直接返回0,如果相等的话比较下一个目标值
        return 1

非支配排序算法

算法思想

  由上，显然支配关系能够作为一个指标来衡量这个解的优劣程度，因此我们利用个体间的支配关系，将现有种群进行分层。最靠近pareto前沿的解它的等级（rank）最高，为第一层。然后依次判断每个个体处在第几层中，给每个个体的rank赋值。几何上来看，类似于画同心圆，看看这个解在第几个同心圆中。然后依据每个个体的rank值来进排序选择。

算法伪代码

下面是原文作者的伪代码：

伪代码释义

  这里面需要了解其中几个变量的含义——
$n_p$：解 $p$ 被几个解所支配，是一个数值（左下部分点的个数）
$S_p$：解 $p$ 支配哪些解，是一个解集合（右上部分点的内容）
$F_i$：第 $i$ 层的解集合（显然同一层内的解互相都是非支配解）
$p_{rank}$：解 $p$ 所在层的等级（越小越好）
伪代码主要进行了两步：

1. 所有个体的 $n_p$，$S_p$都算出来了，但只有最前沿的个体 rank确定下来，该层的所有个体的rank值设为1，再将其放入了 $F_1$ 层中。
2. 用 $F_1$ 中个体 $p$ 的 $S_p$（里面放着后面的点），取其中每个个体 $q(\in S_p)$，该个体每被前一层的p支配过一次，该个体属性 $n$ 的值就减 1。则，当该层的 $p$ 都支配过 $q$ 一次后，若 $n_p=0$。说明 $q$ 就是紧邻该层的下一层，则把 $q$ 放入 $F_2$ 中 ，个体 $q$ 的属性 rank = 2
3. 重复 2. 的步骤用于 $F_2$ ，得到 $F_3$ ，…
   

Python代码实现

def fast_non_dominated_sort(P):
    """
    非支配排序
    :param P: 种群 P
    :return F: F=(F_1, F_2, ...) 将种群 P 分为了不同的层， 返回值类型是dict，键为层号，值为 List 类型，存放着该层的个体
    """
    F = defaultdict(list)

    for p in P:
        p.S = []
        p.n = 0
        for q in P:
            if p < q:  # if p dominate q
                p.S.append(q)  # Add q to the set of solutions dominated by p
            elif q < p:
                p.n += 1  # Increment the domination counter of p
        if p.n == 0:
            p.rank = 1
            F[1].append(p)

    i = 1
    while F[i]:
        Q = []
        for p in F[i]:
            for q in p.S:
                q.n = q.n - 1
                if q.n == 0:
                    q.rank = i + 1
                    Q.append(q)
        i = i + 1
        F[i] = Q

    return F

过渡1

  上面描述的非支配排序方法从解的收敛性，或者说靠近pareto的前沿的程度来衡量解的优劣。以此，我们假设现在待选择种群个体有120个，我们的种群规模为100，即要选择前100个作为父代进入下一次迭代。
  通过非支配排序，若得到 $F_1$ 有30个， $F_2$ 有60个， $F_3$ 有10个， $F_4$ 有20个。很显然，我们只选择 $F_1$ ， $F_2$ ， $F_3$ 中的个体就可以了。但上述情况是刚刚好的，我们需要考虑比较一般的情况——
如果划分的线切在了 $F_i$ 层中，即如果 $F_3$ 有30个，要从中选择10个，剔除20个，这种情况该如何选择呢？即对于处在同一层中，rank属性值相同的个体，我们应当依据什么来对他们进行排序呢？

拥挤度距离排序

算法思想

  由此，作者为了保证种群的多样性，即保留解的分布的稀疏程度，放在图上来看的话就是尽可能得让解分散。在这一原则之下，位于两端的解是必留的，而处于中间的点，则通过定义拥挤度距离来进行判断。形象一些来理解的话，就是“你身边距离比较近的同类太多了，只留下你一个能够代表这一段就行了”。

算法伪代码

下面是原文作者的伪代码：
该段代码比较简单，在不同目标方向上，对于两端点(目标值最大和最小的)的拥挤度距离直接设置为正无穷，而对于中间的点遵循一个公式，简单概括为：

某一点的拥挤度距离 = 相邻上下两点在不同目标方向上的归一化差值之和

Python代码实现

def crowding_distance_assignment(L):
    """ 传进来的参数应该是L = F(i)，类型是List"""
    l = len(L)  # number of solution in F

    for i in range(l):
        L[i].distance = 0  # initialize distance

    for m in L[0].objective.keys():
        L.sort(key=lambda x: x.objective[m])  # sort using each objective value
        L[0].distance = float('inf')
        L[l - 1].distance = float('inf')  # so that boundary points are always selected

        # 排序是由小到大的，所以最大值和最小值分别是 L[l-1] 和 L[0]
        f_max = L[l - 1].objective[m]
        f_min = L[0].objective[m]

        for i in range(1, l - 1):  # for all other points
            L[i].distance = L[i].distance + (L[i + 1].objective[m] - L[i - 1].objective[m]) / (f_max - f_min)

        # 虽然发生概率较小，但为了防止除0错，当bug发生时请替换为以下代码
        # if f_max != f_min:
        #     for i in range(1, l - 1):  # for all other points
        #         L[i].distance = L[i].distance + (L[i + 1].objective[m] - L[i - 1].objective[m]) / (f_max - f_min)

过渡2

  由此介绍完“非支配排序”和“拥挤度距离分配”之后，对于一个已有种群的排序选择的基本流程便可以确定下来——

1. 给定种群中的两个个体，首先比较其rank，该值越小，说明其越靠近pareto前沿，故选择rank值小的。
2. 若两个个体的rank值相同，即两个解是非支配解时，比较其crowding_distance，该值越大，表示其所处的位置更稀疏，更能表现出种群的多样性，故选择crowding_distance值大的。

二元锦标赛

以上流程便是 “二元锦标赛”选择的基本策略。（二元锦标赛：随机选择两个个体，依据某种指标策略进行比较，较优的个体胜出，作为进行交叉的父本中的一个）
其对应代码如下

def binary_tournament(ind1, ind2):
    """
    二元锦标赛
    :param ind1:个体1号
    :param ind2: 个体2号
    :return:返回较优的个体
    """
    if ind1.rank != ind2.rank:  # 如果两个个体有支配关系，即在两个不同的rank中，选择rank小的
        return ind1 if ind1.rank < ind2.rank else ind2
    elif ind1.distance != ind2.distance:  # 如果两个个体rank相同，比较拥挤度距离，选择拥挤读距离大的
        return ind1 if ind1.distance > ind2.distance else ind2
    else:  # 如果rank和拥挤度都相同，返回任意一个都可以
        return ind1

精英选择策略

  首先，在传统的遗传算法中，在某一次迭代中，只有该次迭代的父代参与选择交叉变异，从而产生子代，作为下一次迭代的父代。
  而在NSGA-II中，为了保证最优解的不丢失，提高算法的收敛速度，作者提出了“精英选择策略”，即将父代 $P_t$ 和子代 $Q_t$ 种群，合并为一个种群 $R_t$ ，对其整体进行非支配排序和拥挤度距离计算，根据上述方法进行排序和选择作为下一届的父代 $P_{t+1}$ 。父代再通过一般的方法进行选择交叉排序产生子代 $Q_{t+1}$ 。
  这里同样也是循环的主流程所在！

选择交叉变异生成新种群

选择

  随机从种群中选择两个个体，让其进行过渡2所说的“二元锦标赛”，获胜的作为父本1；同样操作，再得到一个父本2。之后，为了避免遗传算法中的早熟现象，多增加一步判断，使得父本1和父本2不相同。

交叉

  对得到的两个父本进行交叉，产生两个子代。这里选择的交叉算子是“模拟二进制交叉（SBX）”

变异

对于得到的两个子代，其中一个进行变异操作，另一个不变（千万不要两个都变，会引起一种早熟现象——所有的个体都过早的陷于某几个极值而停止变化，具体原因未明，待解决），这里选择的变异算子是“多项式变异”(PM)
$$\begin{gathered} x_j=x_j+{\Delta }_j \\ {\Delta }_j=\{\begin{array}{ll}(2{\mu }_i{)}^{\frac{1}{\eta +1}}& {\mu }_i<0.5\\ 1-[2(1-{\mu }_i){]}^{\frac{1}{\eta +1}}& {\mu }_i\ge 0.5\end{array} \end{gathered}$$
${\mu }_i$ 是满足(0,1)均匀分布的随机数， $\eta$ 是变异分布参数。

Python代码实现

def make_new_pop(P, eta, bound_min, bound_max, objective_fun):
    """
    use select,crossover and mutation to create a new population Q
    :param P: 父代种群
    :param eta: 变异分布参数，该值越大则产生的后代个体逼近父代的概率越大。Deb建议设为 1
    :param bound_min: 定义域下限
    :param bound_max: 定义域上限
    :param objective_fun: 目标函数
    :return Q : 子代种群
    """
    popnum = len(P)
    Q = []
    # binary tournament selection
    for i in range(int(popnum / 2)):
        # 从种群中随机选择两个个体，进行二元锦标赛，选择出一个 parent1
        i = random.randint(0, popnum - 1)
        j = random.randint(0, popnum - 1)
        parent1 = binary_tournament(P[i], P[j])

        # 从种群中随机选择两个个体，进行二元锦标赛，选择出一个 parent2
        i = random.randint(0, popnum - 1)
        j = random.randint(0, popnum - 1)
        parent2 = binary_tournament(P[i], P[j])

        while (parent1.solution == parent2.solution).all():  # 如果选择到的两个父代完全一样，则重选另一个
            i = random.randint(0, popnum - 1)
            j = random.randint(0, popnum - 1)
            parent2 = binary_tournament(P[i], P[j])

        # parent1 和 parent1 进行交叉，变异 产生 2 个子代
        Two_offspring = crossover_mutation(parent1, parent2, eta, bound_min, bound_max, objective_fun)

        # 产生的子代进入子代种群
        Q.append(Two_offspring[0])
        Q.append(Two_offspring[1])
    return Q


def crossover_mutation(parent1, parent2, eta, bound_min, bound_max, objective_fun):
    """
    交叉方式使用二进制交叉算子（SBX），变异方式采用多项式变异（PM）
    :param parent1: 父代1
    :param parent2: 父代2
    :param eta: 变异分布参数，该值越大则产生的后代个体逼近父代的概率越大。Deb建议设为 1
    :param bound_min: 定义域下限
    :param bound_max: 定义域上限
    :param objective_fun: 目标函数
    :return: 2 个子代
    """
    poplength = len(parent1.solution)

    offspring1 = Individual()
    offspring2 = Individual()
    offspring1.solution = np.empty(poplength)
    offspring2.solution = np.empty(poplength)

    # 二进制交叉
    for i in range(poplength):
        rand = random.random()
        beta = (rand * 2) ** (1 / (eta + 1)) if rand < 0.5 else (1 / (2 * (1 - rand))) ** (1.0 / (eta + 1))
        offspring1.solution[i] = 0.5 * ((1 + beta) * parent1.solution[i] + (1 - beta) * parent2.solution[i])
        offspring2.solution[i] = 0.5 * ((1 - beta) * parent1.solution[i] + (1 + beta) * parent2.solution[i])

    # 多项式变异
    # TODO 变异的时候只变异一个，不要两个都变，不然要么出现早熟现象，要么收敛速度巨慢 why？
    for i in range(poplength):
        mu = random.random()
        delta = (2 * mu) ** (1 / (eta + 1)) if mu < 0.5 else (1 - (2 * (1 - mu)) ** (1 / (eta + 1)))
        offspring1.solution[i] = offspring1.solution[i] + delta

    # 定义域越界处理
    offspring1.bound_process(bound_min, bound_max)
    offspring2.bound_process(bound_min, bound_max)

    # 计算目标函数值
    offspring1.calculate_objective(objective_fun)
    offspring2.calculate_objective(objective_fun)

    return [offspring1, offspring2]

整体流程图

  以上，便是所有需要的零件了，下面就是写主函数了，写程序嘛，还是得看具体的流程图：

  由此，主函数部分的Python代码实现如下：

def main():
    # 初始化/参数设置
    generations = 250  # 迭代次数
    popnum = 100  # 种群大小
    eta = 1  # 变异分布参数，该值越大则产生的后代个体逼近父代的概率越大。Deb建议设为 1

    poplength = 30  # 单个个体解向量的维数
    bound_min = 0  # 定义域
    bound_max = 1
    objective_fun = ZDT2

    # poplength = 3  # 单个个体解向量的维数
    # bound_min = -5  # 定义域
    # bound_max = 5
    # objective_fun = KUR

    # 生成第一代种群
    P = []
    for i in range(popnum):
        P.append(Individual())
        P[i].solution = np.random.rand(poplength) * (bound_max - bound_min) + bound_min  # 随机生成个体可行解
        P[i].bound_process(bound_min, bound_max)  # 定义域越界处理
        P[i].calculate_objective(objective_fun)  # 计算目标函数值

    # 否 -> 非支配排序
    fast_non_dominated_sort(P)
    Q = make_new_pop(P, eta, bound_min, bound_max, objective_fun)

    P_t = P  # 当前这一届的父代种群
    Q_t = Q  # 当前这一届的子代种群

    for gen_cur in range(generations):
        R_t = P_t + Q_t  # combine parent and offspring population
        F = fast_non_dominated_sort(R_t)

        P_n = []  # 即为P_t+1,表示下一届的父代
        i = 1
        while len(P_n) + len(F[i]) < popnum:  # until the parent population is filled
            crowding_distance_assignment(F[i])  # calculate crowding-distance in F_i
            P_n = P_n + F[i]  # include ith non dominated front in the parent pop
            i = i + 1  # check the next front for inclusion
        F[i].sort(key=lambda x: x.distance)  # sort in descending order using 
        P_n = P_n + F[i][:popnum - len(P_n)]
        Q_n = make_new_pop(P_n, eta, bound_min, bound_max,
                           objective_fun)  # use selection,crossover and mutation to create a new population Q_n

        # 求得下一届的父代和子代成为当前届的父代和子代，，进入下一次迭代 《=》 t = t + 1
        P_t = P_n
        Q_t = Q_n

        # 绘图
        plt.clf()
        plt.title('current generation:' + str(gen_cur + 1))
        plot_P(P_t)
        plt.pause(0.1)

    plt.show()

    return 0

测试函数与结果

  在此，测试函数使用ZDT1（论文还给出了很多其他的测试函数，具体可以看原论文的TABLE1）：

  得到的结果如下：

其他

源代码地址：
https://github.com/Jiangtao-Hao/NSGA-II.git

参考：
https://blog.csdn.net/Ryze666/article/details/123826212
https://www.docin.com/p-567112189.html