线性代数——向量

向量

  • 概念
    • 定义
    • 内积
  • 向量理论(一)线性相关与线性表示
    • 背景
    • 概念
    • 性质
  • 向量理论(二)极大无关组、向量组等价、向量组的秩
    • 概念
    • 性质

概念

定义

线性代数——向量_第1张图片
向量的长度:|a| = √a12 + a22 + … + ann

|a|= 0 ,a 是零向量
|a|= 1 ,a是单位向量
若|a| ≠0,则 a 对应的单位向量为a/|a|

内积

(a,b) = aTb = bTa =a1b1+a2b2+…+anbn;

note
1、(a,b) = (b,a)

2、(a,a) = |a|^2

3、(a,k1b1 + k2b2 + ... + ksbs) = 
k1(a,b1) + k2(a,b2) +...+ks(a,bs) 
k1b1 + k2b2 + ... + ksbs  称为线性组合

4、若(a,b) = 0 ,称 a,b正交,记作 a⊥b  零向量与任何向量正交

向量理论(一)线性相关与线性表示

背景

一、
1、齐次线性方程组
Ax = 0
A = {α1 , α2 , … , αn}
x = {x1 , x2 , … , xn }T
线性代数——向量_第2张图片

上述方程组等价于
α1·x1 + α2·x2 + … + αn·xn = b

2、非齐次线性方程组
Ax = b;
A = {α1 , α2 , … , αn}
x = {x1 , x2 , … , xn }T
b = {b1 , b2 , … , bm}T
线性代数——向量_第3张图片

上述方程组等价于
α1·x1 + α2·x2 + … + αn·xn = b

二、
齐次线性方程组解的情况
①只有零解
②除零解外还有无数个非零解

非齐次线性方程组解的情况
1、有解
①有唯一解
②有无穷多解
2、无解

概念

1、相关性

对于α1 , α2 , … , αn
α1·x1 + α2·x2 + … + αn·xn = 0

①只有零解
即x1 = x2 = … = xn = 0 ;
使得α1·x1 + α2·x2 + … + αn·xn = 0 成立
称α1 , α2 , … , αn 线性无关

②有非零解
即存在 不全为零的 k1 , k2 , … , kn ,
使得 k1·α1 + k2·α2 + … , kn·αn = 0 成立;
称α1 , α2 , … , αn 线性相关

2、线性表示
对于α1 , α2 , … , αn , b
α1·x1 + α2·x2 + … + αn·xn = b

①有解
即存在 不全为零的 k1 , k2 , … , kn ,
使得 k1·α1 + k2·α2 + … , kn·αn = b 成立;
称b 可以由 α1 , α2 , … , αn 线性表示

②无解
称b 可以由 α1 , α2 , … , αn 线性表示

性质

1、α1 , α2 , … , αn 等价于 至少存在一个向量 可以由其他向量线性表示

Note
① 含有零向量的向量组 线性相关·
②α、β 线性相关 等价于  α 、 β 成比例

2、α1 , α2 , … , αn 线性无关
①α1 , α2 , … , αn , b 线性无关 等价于 b不可以由α1 , α2 , … , αn 线性表示

②α1 , α2 , … , αn , b 线性相关 等价于 b 可以由α1 , α2 , … , αn线性表示,且只有唯一表示方法

3、 全组无关 => 部分无关

4、部分相关 => 全组相关

5、n个n维向量{α1 , α2 , … , αn} ,
若α1 , α2 , … , αn 线性无关 则 |α1 , α2 , … , αn | ≠ 0;

6、n个m维向量{α1 , α2 , … , αn} , 当m

7、提高向量个数 相关性提高;
减少向量个数 相关性降低

8、α1 , α2 , … , αn 全为非零向量,且两两正交,则向量组线性无关

向量理论(二)极大无关组、向量组等价、向量组的秩

概念

1、向量组等价
如果两个向量组α,β可以互相线性表示,则α、β等价

2、极大无关组
对于向量组α {α1 , α2 , … , αn}
①存在r个向量线性无关
②任意r+1个向量线性相关
称r个线性无关的向量为极大组
r称为向量组α的秩

Note
1、极大组不唯一

2、向量组{α1 , α2 , ... , αn} 线性无关 <=> 向量组的秩为 n

3、极大组与向量组等价

4、A = {α1 , α2 , ... , αn}   Ā ={α1 , α2 , ... , αn ,b}
 ①A的秩为r , Ā的秩为r ,则 b可以由α1 , α2 , ... , αn线性表出
 ②A的秩为r , Ā的秩为r+1 ,则b不可以由α1 , α2 , ... , αn线性表出

5、向量组的秩:分为向量组的秩、行向量的秩、列向量的秩

6、An*s  BS*m  B={β1 , β2 ,... ,βm}
   AB=A(β1 , β2 ,... ,βm)
     =(Aβ1 , Aβ2 ,... ,Aβm)

7、B=(α1 - α2 + α3 , 2α2 +α3 , 4α1 -α3)
令A = (α1 ,α2 ,α3)则:
线性代数——向量_第4张图片

性质

1、矩阵三秩相等

2、A= {α1 , α2 , … , αn} , B = {β1 , β2 ,… ,βm};
若A 可由B线性表出,则r(A) 小于等于 r(B)
线性代数——向量_第5张图片

线性代数——向量_第6张图片

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