线性代数——向量

概念

定义

向量的长度：|a| = √a1² + a2² + … + anⁿ

|a|= 0 ，a 是零向量
|a|= 1 ，a是单位向量
若|a| ≠0，则 a 对应的单位向量为a/|a|

内积

(a,b) = a^Tb = b^Ta =a1b1+a2b2+…+anbn;

note
1、(a,b) = (b,a)

2、(a,a) = |a|^2

3、(a,k1b1 + k2b2 + ... + ksbs) = 
k1(a,b1) + k2(a,b2) +...+ks(a,bs) 
k1b1 + k2b2 + ... + ksbs  称为线性组合

4、若(a,b) = 0 ,称 a,b正交，记作 a⊥b  零向量与任何向量正交

向量理论（一）线性相关与线性表示

背景

一、
1、齐次线性方程组
Ax = 0
A = {α1 , α2 , … , αn}
x = {x1 , x2 , … , xn }^T

上述方程组等价于
α1·x1 + α2·x2 + … + αn·xn = b

2、非齐次线性方程组
Ax = b;
A = {α1 , α2 , … , αn}
x = {x1 , x2 , … , xn }^T
b = {b1 , b2 , … , bm}^T

上述方程组等价于
α1·x1 + α2·x2 + … + αn·xn = b

二、
齐次线性方程组解的情况
①只有零解
②除零解外还有无数个非零解

非齐次线性方程组解的情况
1、有解
①有唯一解
②有无穷多解
2、无解

概念

1、相关性

对于α1 , α2 , … , αn
α1·x1 + α2·x2 + … + αn·xn = 0

①只有零解
即x1 = x2 = … = xn = 0 ；
使得α1·x1 + α2·x2 + … + αn·xn = 0 成立
称α1 , α2 , … , αn 线性无关

②有非零解
即存在 不全为零的 k1 , k2 , … , kn ,
使得 k1·α1 + k2·α2 + … , kn·αn = 0 成立;
称α1 , α2 , … , αn 线性相关

2、线性表示
对于α1 , α2 , … , αn , b
α1·x1 + α2·x2 + … + αn·xn = b

①有解
即存在 不全为零的 k1 , k2 , … , kn ,
使得 k1·α1 + k2·α2 + … , kn·αn = b 成立;
称b 可以由 α1 , α2 , … , αn 线性表示

②无解
称b 可以由 α1 , α2 , … , αn 线性表示

性质

1、α1 , α2 , … , αn 等价于 至少存在一个向量 可以由其他向量线性表示

Note
① 含有零向量的向量组 线性相关·
②α、β 线性相关 等价于  α 、 β 成比例

2、α1 , α2 , … , αn 线性无关
①α1 , α2 , … , αn , b 线性无关 等价于 b不可以由α1 , α2 , … , αn 线性表示

②α1 , α2 , … , αn , b 线性相关 等价于 b 可以由α1 , α2 , … , αn线性表示，且只有唯一表示方法

3、 全组无关 => 部分无关

4、部分相关 => 全组相关

5、n个n维向量{α1 , α2 , … , αn} ,
若α1 , α2 , … , αn 线性无关 则 |α1 , α2 , … , αn | ≠ 0；

6、n个m维向量{α1 , α2 , … , αn} , 当m

7、提高向量个数 相关性提高;
减少向量个数 相关性降低

8、α1 , α2 , … , αn 全为非零向量，且两两正交，则向量组线性无关

向量理论（二）极大无关组、向量组等价、向量组的秩

概念

1、向量组等价
如果两个向量组α，β可以互相线性表示，则α、β等价

2、极大无关组
对于向量组α {α1 , α2 , … , αn}
①存在r个向量线性无关
②任意r+1个向量线性相关
称r个线性无关的向量为极大组
r称为向量组α的秩

Note
1、极大组不唯一

2、向量组{α1 , α2 , ... , αn} 线性无关 <=> 向量组的秩为 n

3、极大组与向量组等价

4、A = {α1 , α2 , ... , αn}   Ā ={α1 , α2 , ... , αn ,b}
 ①A的秩为r , Ā的秩为r ，则 b可以由α1 , α2 , ... , αn线性表出
 ②A的秩为r , Ā的秩为r+1 ,则b不可以由α1 , α2 , ... , αn线性表出

5、向量组的秩：分为向量组的秩、行向量的秩、列向量的秩

6、An*s  BS*m  B={β1 ， β2 ，... ，βm}
   AB=A(β1 ， β2 ，... ，βm)
     =(Aβ1 ， Aβ2 ，... ，Aβm)

7、B=（α1 - α2 + α3 ， 2α2 +α3 ， 4α1 -α3）
令A = （α1 ，α2 ，α3）则：

性质

1、矩阵三秩相等

2、A= {α1 , α2 , … , αn} ， B = {β1 ， β2 ，… ，βm}；
若A 可由B线性表出，则r(A) 小于等于 r(B)