虚拟向导AUV的速度推算

前言

针对AUV的路径跟踪控制问题，引入了SF坐标系和虚拟向导，本文基于李雅普诺夫方法进行虚拟向导AUV的速度的推导，得到$\dot{s}$，进而得到期望路径参数$s$，进而根据需要生成期望路径。

一、虚拟向导AUV速度推导

首先根据AUV的位置误差，设计的李雅普诺夫能量函数为：
$$V=\frac{1}{2}{x}_e^2+\frac{1}{2}{y}_e^2+\frac{1}{2}{z}_e^2$$求一阶导可得：$$\dot{V}=x_e{\dot{x}}_e+y_e{\dot{y}}_e+z_e{\dot{z}}_e$$基于SF坐标系的路径跟踪误差方程为：$$\{\begin{array}{llc}{\dot{x}}_e=y_e{c}_1(s)\dot{s}+U_{B}cos{\psi }_{e}cos{\theta }_e-z_e{c}_2(s)\dot{s}& & \\ {\dot{y}}_e=-x_e{c}_1(s)\dot{s}+U_{B}sin{\psi }_{e}cos{\theta }_e& & \\ {\dot{z}}_e=x_e{c}_2(s)\dot{s}-U_{B}sin{\theta }_e& & \end{array}$$带入可得：
$$\begin{gathered} \dot{V}=x_e(y_e{c}_1(s)\dot{s}+U_{B}cos{\psi }_{e}cos{\theta }_e-z_e{c}_2(s)\dot{s}-\dot{s}) \\ +y_e(-x_e{c}_1(s)\dot{s}+U_{B}sin{\psi }_{e}cos{\theta }_e)+z_e(x_e{c}_2(s)\dot{s}-U_{B}sin{\theta }_e) \end{gathered}$$化简可得：
$$\dot{V}=x_e(U_{B}cos{\psi }_{e}cos{\theta }_e-\dot{s})+y_e{U}_{B}sin{\psi }_{e}cos{\theta }_e-z_e{U}_{B}sin{\theta }_e$$设计的虚拟向导AUV的运动速度为：
$$\dot{s}=U_{B}cos{\psi }_{e}cos{\theta }_e+k_s{x}_e,k_s>0$$

二、李氏函数一阶导负定性分析

将设计的AUV虚拟速度带入李氏函数的一阶导得到：
$$\dot{V}=-k_s{\dot{x}}_e^2+y_e{U}_{B}sin{\psi }_{e}cos{\theta }_e-z_e{U}_{B}sin{\theta }_e,k_s>0$$现在结合AUV对上式进行分析：
假设AUV在运动过程中在期望路径的左侧，由右手定则可知$y_e\le 0$,此时AUV在水平方向上需沿顺时针转动，因此${\psi }_e\le 0$,结合${\psi }_e$的取值范围，知${\psi }_e\in [-\pi ,0]$,则$sin{\psi }_e\le 0$,因而$y_{e}sin{\psi }_e\le 0$又知${\theta }_e\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$,得到$cos{\theta }_e>0$,所以有$y_e{U}_{B}sin{\psi }_{e}cos{\theta }_e\le 0$;
同理当AUV在期望路径的右侧时，也能得到$y_e{U}_{B}sin{\psi }_{e}cos{\theta }_e\le 0$,因此此项始终小于等于零。
当AUV运动过程中在期望路径的下侧时，$z_e\ge 0$，此时在垂直方向上需逆时针转动，有${\theta }_e>0$,结合${\theta }_e$的取值范围，知${\theta }_e\in (0,\frac{\pi }{2})$，则$sin{\theta }_e>0$，因而$z_e{U}_{B}sin{\theta }_e\ge 0$，则加上符号后此项恒小于等于零。
综上得到$\dot{V}\le 0$。