数学模型——初步理解马尔可夫链（Markov chain）

什么是马尔可夫链

一句话描述：状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。该过程要求具备无记忆的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。

也就是说，马尔可夫链是一个随机系统，它必须满足两个条件：

• 系统任意时刻可以用有限个可能状态之一来描述
• 系统无后效性，即某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各种状态及决策的影响

在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。随机漫步就是马尔可夫链的例子。随机漫步中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）

以下是随机漫步程序的python语言实现：

from random import choice
import matplotlib.pyplot as plt
class RandomWork():
    def __init__(self,num_points=5000):
        self.num_points=num_points
        
        self.x_values=[0]
        self.y_values=[0]
    def fill_walk(self):
        while len(self.x_values)<self.num_points:
            x_direction=choice([1,-1])
            x_distance=choice([0,1,2,3,4])
            x_step=x_direction*x_distance
            
            y_direction=choice([1,-1])
            y_distance=choice([1,2,3,4])
            y_step=y_direction*y_distance
            
            next_x=self.x_values[-1]+x_step
            next_y=self.y_values[-1]+y_step
            
            self.x_values.append(next_x)
            self.y_values.append(next_y)


rw=RandomWork()
rw.fill_walk()
plt.plot(rw.x_values,rw.y_values)

运行结果如下：

那么，如何用数学语言来描述马尔可夫链呢？

数学表达

状态向量

$$X^{(n)}=\left(\begin{array}{llll}{x}_1^{(n)}& x_2^{(n)}& \dots & x_k^{(n)}\end{array}\right)$$

• 概率向量的每个元素都是概率，并且元素之和为1。
• 系统的可能状态数有k个。
• 向量中各个元素分别表示表示第n次观测时第i个状态的概率
• $X^{(0)}$被称为初始状态

转移概率矩阵

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{p}_{11}& p_{12}& \dots & p_{1k}\\ p_{21}& p_{22}& \dots & p_{2k}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ p_{k1}& p_{k2}& \dots & p_{kk}\end{array}\right)$$

• $p_{ij}(i,j=1,2,\dots ,k)$表示这次观测前状态为i，现在观测是状态为j的概率
• P矩阵元素非负
• 每一行的元素之和都为1

根据无后效性，我们可以得出：
$$X^{(n+1)}=X^{(n)}P$$
从而
$$X^{(n+1)}=X^{(0)}{P}^n$$
由于某一时刻状态转移的情况只依赖前一个状态，那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率，这个马尔科夫链的模型就确定了。接下来我们可以看一个具体的例子。

一个简单的模型

有一个大的汽车租赁公司，有三家门店，你租的时候可以选择任何一个门店，还的时候也可以选择任何一家门店， 从不同门店借出和归还的概率如下：

	归还	1	2	3
借出
1		0.5	0.2	0.3
2		0.3	0.1	0.6
3		0.3	0.6	0.1

可以写出转移矩阵为
$$P=\left(\begin{array}{ccc}0.5& 0.2& 0.3\\ 0.3& 0.1& 0.6\\ 0.3& 0.6& 0.1\end{array}\right)$$
那么这个借还车的模型已经确定。

接下来我们用这一模型进行简单的预测。已知一辆车位于2号门店，三次借还以后，这辆车最可能在哪个门店呢？转移矩阵我们可以很快地求解。

设初始状态向量为
$$X^{(0)}=(0,1,0)$$
可以很快地求出
$$\begin{gathered} X^{(1)}=X^{(0)}P=(0.3,0.1,0.6) \\ {X}^{(2)}=X^{(1)}P=(0.36,0.43,0.21) \\ {X}^{(3)}=X^{(2)}P=(0.372,0.241,0.387) \end{gathered}$$
故三次借还后这辆车最可能在三号门店。

接下来我们研究多次借还后的情况。

马尔可夫链细致平稳条件

用python实现15次借还后的预测

import numpy as np
import random as rm
def markov():
    init_array = np.array([0,1,0])
    transfer_matrix = np.array([[0.5, 0.2, 0.3],
                               [0.3, 0.1, 0.6],
                               [0.3, 0.6, 0.1]])
    restmp = init_array
    for i in range(15):
        res = np.dot(restmp, transfer_matrix)
        print (i, "\t", res)
        restmp = res
markov()

可以得到结果为

0 	 [0.3 0.1 0.6]
1 	 [0.36 0.43 0.21]
2 	 [0.372 0.241 0.387]
3 	 [0.3744 0.3307 0.2949]
4 	 [0.37488 0.28489 0.34023]
5 	 [0.374976 0.307603 0.317421]
6 	 [0.3749952 0.2962081 0.3287967]
7 	 [0.37499904 0.30189787 0.32310309]
8 	 [0.37499981 0.29905145 0.32594874]
9 	 [0.37499996 0.30047435 0.32452569]
10 	 [0.37499999 0.29976284 0.32523717]
11 	 [0.375      0.30011858 0.32488142]
12 	 [0.375      0.29994071 0.32505929]
13 	 [0.375      0.30002965 0.32497035]
14 	 [0.375      0.29998518 0.32501482]

我们发现，当n增大，状态向量趋近于
$$X^{(n)}=(0.375,0.3,0.325)$$
同时我们可以研究转移矩阵的n次幂

def matrixpower():
    transfer_matrix = np.array([[0.5, 0.2, 0.3],
                               [0.3, 0.1, 0.6],
                               [0.3, 0.6, 0.1]])
    restmp = transfer_matrix
    for i in range(15):
        res = np.dot(restmp, transfer_matrix)
        print (i, "\t", res)
        restmp = res

matrixpower()

得到的结果是

0 	 [[0.4  0.3  0.3 ]
 [0.36 0.43 0.21]
 [0.36 0.18 0.46]]
1 	 [[0.38  0.29  0.33 ]
 [0.372 0.241 0.387]
 [0.372 0.366 0.262]]
2 	 [[0.376  0.303  0.321 ]
 [0.3744 0.3307 0.2949]
 [0.3744 0.2682 0.3574]]
3 	 [[0.3752  0.2981  0.3267 ]
 [0.37488 0.28489 0.34023]
 [0.37488 0.31614 0.30898]]
4 	 [[0.37504  0.30087  0.32409 ]
 [0.374976 0.307603 0.317421]
 [0.374976 0.291978 0.333046]]
5 	 [[0.375008  0.299549  0.325443 ]
 [0.3749952 0.2962081 0.3287967]
 [0.3749952 0.3040206 0.3209842]]
6 	 [[0.3750016  0.3002223  0.3247761 ]
 [0.37499904 0.30189787 0.32310309]
 [0.37499904 0.29799162 0.32700934]]
7 	 [[0.37500032 0.29988821 0.32511147]
 [0.37499981 0.29905145 0.32594874]
 [0.37499981 0.30100457 0.32399562]]
8 	 [[0.37500006 0.30005577 0.32494417]
 [0.37499996 0.30047435 0.32452569]
 [0.37499996 0.29949779 0.32550225]]
9 	 [[0.37500001 0.29997209 0.3250279 ]
 [0.37499999 0.29976284 0.32523717]
 [0.37499999 0.30025112 0.32474889]]
10 	 [[0.375      0.30001395 0.32498605]
 [0.375      0.30011858 0.32488142]
 [0.375      0.29987444 0.32512556]]
11 	 [[0.375      0.29999302 0.32500698]
 [0.375      0.29994071 0.32505929]
 [0.375      0.30006278 0.32493722]]
12 	 [[0.375      0.30000349 0.32499651]
 [0.375      0.30002965 0.32497035]
 [0.375      0.29996861 0.32503139]]
13 	 [[0.375      0.29999826 0.32500174]
 [0.375      0.29998518 0.32501482]
 [0.375      0.30001569 0.32498431]]
14 	 [[0.375      0.30000087 0.32499913]
 [0.375      0.30000741 0.32499259]
 [0.375      0.29999215 0.32500785]]

即转移矩阵的每一行都趋向于$[0.375,0.3,0.325]$

这种情况我们就称为马尔科夫链收敛。

首先，马尔科夫链要能收敛，需要满足以下条件：
1.可能的状态数有限。
2.状态间的转移概率固定不变。
3.能从任意状态转变到任意状态。
4.不能是简单的循环，例如从x到y再从y到x。

以上是马尔可夫链收敛的必要条件。

由前面的例子我们不难看出，由于$X^{(0)}$的每个元素的取值范围为[0,1]，并且所有元素的和为1，当$X^{(0)}$与$P^n$相乘后，得到的向量一定会收敛到一个稳定值，且这个稳定值与初始$X^{(0)}$无关。

接下来，我们给出此现象中转移矩阵满足的条件。

细致平衡条件（Detailed-Balance Condition）：给定一个马尔可夫链，分布$\pi$和概率转移矩阵$P$，如果下面等式成立:
$${\pi }_i{P}_{ij}={\pi }_j{P}_{ji}$$
则此马尔可夫链具有一个平稳分布（Stationary Distribution)。

马尔可夫链的应用

在物理学和化学中，马尔可夫链和马尔可夫过程被用于对动力系统进行建模，形成了马尔可夫动力学（Markov dynamics）。 在排队论（queueing theory）中，马尔可夫链是排队过程的基本模型 。在信号处理方面，马尔可夫链是一些序列数据压缩算法，例如Ziv-Lempel编码的数学模型 ，在金融领域，马尔可夫链模型被用于预测企业产品的市场占有率