单纯形法人工变量和松弛变量，剩余变量的区别

问题标准化

将一般形式的线性规划模型变为标准形式的三个步骤：

1. 决策变量非负化
2. 约束条件等式化
3. 目标函数最大化

然后我们要寻找一个初始可行解，但是有些时候完成标准化的模型并不能照当初始解。如：
$$\begin{array}{c}\max Z=x_1+x_2\\ \{\begin{array}{r}2x_1+x_2\le 6\\ x_1+2x_2\ge 8\\ x_2=2\end{array}\end{array}$$
变换：
$$\begin{array}{c}\max Z=x_1+x_2\\ \{\begin{array}{r}2x_1+x_2+x_3=6\\ x_1+2x_2-x_4=8\\ x_2=2\end{array}\end{array}$$
添加的$x_3,x_4$分别为松弛变量和剩余变量，但是此时无法找到一个合适的初始解，于是我们引入人工变量的概念：在已经是等式的条件下，为了凑得单位子矩阵人为加入的新变量，如果其值不为0，说明相应的条件没有被满足，故如果是可行解必须保证所有人工变量为0。添加的方法：
4. 如果原先是$\le$，左边加上非负松弛变量。
5. 如果原先是$\ge$，左边减去非负剩余变量，再加上非负人工变量。
6. 如果原先是$=$，左边加上非负人工变量。
7. 令在目标函数中的松弛和剩余变量系数为0，人工变量为$-M$
$$\begin{array}{c}\max Z=x_1+x_2-M_1{x}_5-M_2{x}_6\\ \{\begin{array}{r}2x_1+x_2+x_3=6\\ x_1+2x_2-x_4+x_5=8\\ x_2+x_6=2\\ x_i\ge 0(i=1,2...6)\end{array}\end{array}$$
$M$意为很大的整数。这就是所谓大M法。