矩阵求导中的分母布局与分子布局

最近在处理一些优化问题时，我才注意到，在不同的书籍、资料中函数$f(x):{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 的导数$\frac{\partial f}{\partial x}$形式并不一样。如下图，二者在雅各比矩阵的定义上显然不一样（很明显矩阵维度不同）。这一下子就把我弄糊涂了，之前还没从没注意到这个问题。

figure.1

还好有万能的wikipedia，在这里我找到了答案：

figure.2

这两种表达不同的原因是其采用的表达形式不同，一种称为Numerator layout（分子布局），一种称为Denominator layout（分母布局）。
如果要方便地区分二者，这里我们记为 Numerator layout：$\frac{\partial y}{\partial x^T}$，Denominator layout：$\frac{\partial y^T}{\partial x}$。为了方便记忆，我们可以记为未转置的向量在那个位置，就是什么布局。
那么两种形式的区别和联系是什么呢？这里我们来看一个最简单的例子(注意！对于标量，转置和不转置没有区别。粗体为列向量)：

∂ y ∂ x T = [ ∂ y 1 ∂ x T ⋮ ∂ y m ∂ x T ] ∂ y T ∂ x = [ ∂ y 1 T ∂ x … ∂ y m T ∂ x ] \frac {\partial{\mathbf{y}}} {\partial{\mathbf{x}^T}}=\begin{bmatrix} \frac {\partial{y_1}} {\partial{\mathbf{x}^T}} \\ \vdots\\ \frac {\partial{y_m}} {\partial{\mathbf{x}^T}} \end{bmatrix} \quad \frac {\partial{\mathbf{y}^T}} {\partial{\mathbf{x}}}=\begin{bmatrix} \frac {\partial{y_1^T}} {\partial{\mathbf{x}}} & \dots &\frac {\partial{y_m^T}} {\partial{\mathbf{x}}} \end{bmatrix} ∂xT∂y​= ​∂xT∂y1​​⋮∂xT∂ym​​​ ​∂x∂yT​=[∂x∂y1T​​​…​∂x∂ymT​​​]

通过这个例子，这两种表达的规律大家应该就很清晰了，并且也应该会觉得这两种写法导致结果的不同是很自然的。接下来，我们继续探究，我们先来回忆一下对标量函数导数的一个定义$dy=\dot{f}(x)dx$（这里不写为除法形式，是因为对于向量来说除法并不存在）。在进行高维推广时，我们自然而然的想要得到相同的形式。可是我们会发现，实际情况会略微变复杂一些。我们还是看一个简单的例子：
$$\begin{gathered} A\in {\mathbb{R}}^{m\times n},y\in {\mathbb{R}}^m,x\in {\mathbb{R}}^n \\ y=f(x)=Ax \\ \text{according to figure.2 }\to \frac{\partial y}{\partial x^T}=A,\frac{\partial y^T}{\partial x}=A^T \\ dy=Adx=\frac{\partial y}{\partial x^T}dx,dy=(d{x}^T{A}^T{)}^T=(\frac{\partial y^T}{\partial x}{)}^{T}dx \end{gathered}$$
所以我们可以直观地看到，分子布局的结果，我们可以直接使用；而对于分母布局的结果，我们需要转置后再使用。

如想更进一步理解，请看如下好文：
矩阵求导术（上）
矩阵求导术（下）
矩阵求导(分母布局与分子布局)，以及常用的矩阵求导公式