傅里叶变换详解

一、用途：

“任意”的函数经过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合形式。比如想要过滤一首音乐中的噪音，我们可以使用傅里叶变换将叠加后的图像分离为一个个纯声的正弦图像，去掉特定频率的噪声就能实现噪声的过滤。当然傅里叶公式的应用场景很多，下面我们来通过一段图文分析傅里叶公式的含义。

 

二、缠绕图像

我们可以将叠加后的波形图绘制到缠绕图像上去，缠绕频率指“每秒几圈”，频率越低则图像越复杂，当频率和原始波形的某个频率相同时会出现“波峰”，说明该叠加波形中含有该频率的正弦波。

变化方式如下图： 

通过这种方法就可以对复杂的波形进行分离：

上面描述的将某一频率的波通过缠绕图像变换成凸显频率的方式称为“近傅里叶变换”，实践证明，将两种频率的波先进行傅里叶变换再叠加，和先叠加再进行傅里叶变换得到的结果是一样的。

三、公式推导

在解决数学问题的时候我们通常从复数的角度看待问题，这是因为复数往往能很好的描述缠绕、旋转等相关事物。

①欧拉公式提出：如果选用  ，n表示一个数，从半径为1的圆的90°开始逆时针旋转，则走了n个单位的长度，那么如果你想1秒钟走一圈，则 n=2Π。就可以使用  ，t表示经过的时间。

②当然1秒钟一圈太晃眼了是不是？所以我们需要一个更低、更合理的频率，即  ，这样就快慢就可以自己调节啦~

③但是呢，傅里叶旋转通常是顺时针的，所以加个符号：

④之前是个⚪，变换成缠绕图像：g(t).

⑤缠绕图像的目的是跟踪它的“质心”，所以再稍微变换以下吧~

 ⑥最后次变换：傅里叶公式不需要除以区间，所以不难想象，傅里叶实现了质心的“倍增”，随着积分区间变大，质心向量越来越长。

四、总结

傅里叶公式是一个伟大的数学发现，在很多领域都有运用，其他的知识还需要我这个小白不断摸索丫~