数据结构和算法进阶笔记--13贪心算法

贪心算法

贪心算法(又称贪婪算法)是指,在对问题求解是,总是做出当前看来是最好的选择。也就是说,不从整体最优上加以考虑,这种算法做出的在某种意义上是局部最优解。
贪心算法并不会保证得到最优解,但是在某些问题上贪心算法的解就是最优解。要回判断一个问题能否用贪心算法来计算。

找零问题

假设上店老板需要找零n元钱,钱币面额有:100,50,5,1,如何找零使得所需钱币的数量最少。
解:贪心算法,先从最大面额找,找不开,再找下一面额,直到找开

t = [100, 50, 5, 1]
def change(t, n):
	m = [0 for _ in range(len(t))]
	for i, money in enumerate(t):
		m[i] = n // money
		n = n % money
	return m, n

背包问题

一个小偷在商店里发现有n个商品,第i个商品价值vi元,重wi千克。他希望拿走的价值尽量高,但是他的背包最多只能容纳W千克的东西。他应该拿走那些商品。

  • 0-1背包:对于一个商品,小偷要么把它完整拿走,要么留下。不能只拿走一部分,或者把一个商品拿走多次。(比如金条)
  • 分数背包:对于一个商品,小偷可以拿走其中任意一部分。(比如金砂)
    举例
  • 商品1: v1=60 w1=10
  • 商品2:v2=100 w2=20
  • 商品3:v3=120 w3=30
  • 背包容量:w=50
    对于0-1背包和分数背包,贪心算法是否都能得到最优解

分数背包

goods = [(60, 10),(100, 20),(120, 30)]	# 表示每个商品元组表示(价格, 重量)
goods.sort(key=lambda x: x[0]/x[1], reverse=True)	# 按照平均价格降序排序
# 分数背包
def fractional_backpack(goods, w):
	# w 表示背包的重量
	total_v = 0
	m = [0 for _ in range(len(goods))]
	for i, (prize, weight) in enumerate(goods):
		if w >= weight:
			m[i] = 1
			w -= weight
			total_v += weight
		else:
			m[i] = w / weight
			total_v += m[i] * prize
			w = 0
			break
	return m, total_v
	

拼接最大数字问题
有n个非负整数,将其按照字符串拼接的方式拼接为一个整数。如何拼接可以使得得到的整数最大?

  • 例:32,94,128,1286,6,71可以拼接出的最大整数位94716321286128
    字符串比较:字符串中的字符进行首位比较,哪个字符串的首位大哪个字符串就大。若首位相同,则以此向后比较。
    比较的时候,从字符串左边开始,依次比较每个字符,直到出现差异、或者其中一个串结束为止。
    比如ABC与ACDE比较,第一个字符相同,继续比较第二个字符,由于第二个字符是后面一个串大,所以不再继续比较,结果就是后面个串大。
    再如ABC与ABC123比较,比较三个字符后第一个串结束,所以就是后面一个串大。
from functools import cmp_to_key
li = [32, 94, 128, 1286, 6, 71]
def xy_cmp(x, y):
	if x+y < y+x:
		return 1
	elif x+y > y+x:
		return -1
	else:
		return 0
def number_join(li):
	li = list(map(str, li))
	li.sort(key=cmp_to_key(xy_cmp))
	return "".join(li)

关于cmp_to_key函数的用法可转到python cmp_to_key这篇博客中。

活动选择问题

假设有n个活动,这些活动要占用同一片场地,而场地在某时刻只能供一个活动使用。
每个活动都与一个开始时间si和结束时间fi(题目中时间以整数表示),表示活动在[si, fi)区间占用场地。
问:安排哪些活动能够使该场地举办的活动个数最多?
活动时间表
贪心算法:最先结束的活动一定是最优解的一部分。
证明:假设a是所以活动中最先结束的活动,b是最优解中最先结束的活动。
如果a=b,结论成立
如果a ≠ \neq =b,则b的结束时间一定晚于a的结束时间,则此时用a替换掉最优解中的b,a一定不与最优解中的其他活动时间重叠,因此替换后的解也是最优解。

activities = [(1,4), (3,5), (0,6), (5,7), (3,9), (5,9), (6,10), (8,11), (8,12), (2,14), (12,16)]
# 按活动结束时间排好序
activities.sort(key=lambda x:x[1])

def activity_selection(a):
	res = [a[0]]
	for i in range(1, len(a)):
		if a[i][0] >= res[-1][1]:	# 当前活动时间大于等于最后一个入选活动的结束时间
			# 时间不冲突
			res.append(a[i])
	return res

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