3.9 朗斯基行列式

定义

  朗斯基行列式Wronskian determinant是用来判断多个函数之间是不是线性相关的。线性相关就是概念比较复杂，通俗地讲，两个向量之间是不是线性相关，就是看它们二者是不是倍数关系，如果是倍数关系，那么两者是线性相关的。对于多个向量，就是说其中一个向量能不能表示为其他向量的线性组合，如果可以，那么是线性相关的，如果不可以，则是线性无关的。
  函数可以看成是函数空间$C_{[a,b]}$上的向量，$[a,b]$是定义域。朗斯基行列式是判断多个函数之间的线性相关的，它是由函数的$1$到$n-1$阶导数组成的矩阵的行列式，公式如下：
∣ f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) f 1 ′ ( x ) f 2 ′ ( x ) ⋯ f n ′ ( x ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f 1 ( n − 1 ) ( x ) f 2 ( n − 1 ) ( x ) ⋯ f n ( n − 1 ) ( x ) ∣ \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x)\\ f'_1(x) & f'_2(x) & \cdots & f'_n(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)\\ \end{vmatrix} ​f1​(x)f1′​(x)⋮f1(n−1)​(x)​f2​(x)f2′​(x)⋮f2(n−1)​(x)​⋯⋯⋱⋯​fn​(x)fn′​(x)⋮fn(n−1)​(x)​ ​
  朗斯基行列式如果在定义域内存在一个点$x_0$不等于0，则函数组线性无关。但是反过来不一定，也就是说朗斯基行列式为0，推不出函数线性相关。

举例

  来看这三个函数：
$$2x^2+3,x^2,1$$
  这三个函数一看就是线性相关的，因为$2x^2+3$就是$x^2$和$1$的线性组合，组合系数分别为$2$和$3$。他们的朗斯基行列式是什么样子呢？
∣ 2 x 2 + 3 x 2 1 4 x 2 x 0 4 2 0 ∣ = − ∣ 4 x 2 x 4 2 ∣ = 0 \begin{vmatrix} 2x^2+3 & x^2 & 1\\ 4x & 2x & 0\\ 4 & 2& 0\\ \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 4x & 2x \\ 4 & 2\\ \end{vmatrix}=0 ​2x2+34x4​x22x2​100​ ​=− ​4x4​2x2​ ​=0
  再看一个例子，这两个函数：$x^2,x|x|$，他们的朗斯基行列式是：
∣ x 2 x ∣ x ∣ 2 x 2 ∣ x ∣ ∣ = = 0 \begin{vmatrix} x^2 & x|x|\\ 2x & 2|x| \\ \end{vmatrix}==0 ​x22x​x∣x∣2∣x∣​ ​==0
 但是很明显，分区间的，在$x\ge 0$的时候，$x^2=x|x|$，但是当$x\le 0$的时候$x^2=-x|x|$,所以并不是线性相关的。所以从朗斯基行列式为0推不出线性相关。这个例子是不同的区间，线性相关系数不一样，所以不能算线性相关。
  再举个例子，$x^2,x,1$,肉眼看上去是肯定线性无关的，它的朗斯基行列式是什么样子的呢？
∣ x 2 x 1 2 x 1 0 2 0 0 ∣ = 2 \begin{vmatrix} x^2 & x & 1\\ 2x & 1 & 0\\ 2 &0& 0\\ \end{vmatrix}=2 ​x22x2​x10​100​ ​=2