李理论基础I、II
课程编码：011D9101Z﹡ 课时：80 学分：4.00 课程属性：其它 主讲教师：聂思安
教学目的要求
李群和李代数(Lie group and Lie algebra)是在1874年由挪威数学家SophusLie为研究微分方程的对称性而引进的。后经过E. Cartan 和H. Weyl等人的努力，李的理论已成了微分几何的重要研究工具并发展成完整的代数理论。上世纪初，人们发现了李群和李代数在量子物理起重要作用。如今，它在诸如微分几何、偏微分方程、拓扑、数论、控制论、代数编码、可积系统、算子理论、随机过程和计算数学等领域都有广泛的应用。另外，上世纪九十年代初，李理论也出现在生物学的遗传密码的演变中。
本课程打算详细介绍李理论的基础理论。课程的特点是各部分知识的关联性强，像也一个完整的逻辑剧本。它对培养学生的逻辑推理能力非常有用。
预修课程
教材
主要内容
课程由两部分组成。第一部分为有限维李代数的结构和有限维表示基础，共六十个学时。第二部分由任课教师自由发挥，共二十个学时；内容选题如：
李代数的显式表示理论，李群及其表示和代数群等。细节如下：
(一）、有限维李代数的结构和有限维表示基础(60学时):
(1)、李代数的定义和例子，幂零性和可解性，Engel定理，李定理，Jordan-Chevalley分解和Cartan可解性判别准则。
(2)、Killing型，有限维半单李代数和它们间的关系；单李代数，半单李代数的单理想分解和导子；李代数的模和表示的定义，Weyl的完全可约性定理和Cartan根空间分解。
(3)、根系的公理和基本性质，特别基存在性；Weyl群及其性质，根系的分类、构造和自同构群；根格和饱和子集。
(4)、根系对有限维半单李代数的结构的决定；Cartan子代数在内自同构群下的共轭性，单李代数的自同构群，例外型单李代数的构造。
(5)、普遍包络代数和PBW定理，Verma模和有限维半单李代数的有限维不可约模的结构。Weyl特征标公式和有限维不可约模的维数公式；模的张量分解。
(二)、任课教师自由发挥教学选题(三选一，20学时):
(1)、李代数的显式表示理论：
a、典型李代数的基本微分算子表示，非典型微分算子表示。
b、旗型偏微分方程的多项式解,调和多项式基本定理和推广。
c、沈的混合积定理, 特殊线性李代数和辛李代数的射影微分算子表示及推广，正交李代数的共形微分算子表示及推广.
(2)、李群及其表示：
a、李群和李代数关系，指数映射；紧李群的Cartan子群和根系，实约化群的Cartan分解，实约化群的Iwasawa分解。
b、齐性流形和商群；覆盖同态和单连通李群，连续同态和闭子群。
c、李群的有限维表示及共轭表示，Weyl酉技巧及紧李群的有限维表示，紧李群的无穷维酉表示及Peter-Weyl定理，局部凸拓扑向量空间及李群表示，光滑表示及傅里叶级数的收敛性。
(3)、代数群：
a、代数群的定义，嵌入定理，交换代数群，一维交换代数群的分类。
b、求导，微分形式模，切空间（映射），光滑性，代数群的李代数，Lang定理。
c、Chevalley定理，Zariski主定理，齐性空间，抛物子群和Borel子群，Borel不动点定理，
d、简约代数群，秩等于一的半单代数群，根子群，Bruhat分解定理，Grassmann流型的几何，简约代数群的构造和分类，Tits群。
参考文献
[1] A. Borel, Linear algebraic groups, Second edition, Graduate
Texts in Mathematics 126, Springer-Verlag, New York, 1991.
[2] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and
Representation Theory, Springer-Verlag New York Inc., 1972.
[3] J.E. Humphreys, Linear algebraic groups, Graduate Texts in
Mathematics 21, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975.
[4] T. Springer, Linear algebraic groups, Second edition, Progress
in Math.9, Birkh?user Boston, Inc., Boston, MA 1998
[5]W. Fulton and J. Harris, Representation Theory, Graduate Texts
in Mathematics 129, Springer-Verlag, New York, 1991.
[6] X. Xu, Representations of Lie Algebras and Partial Differential
Equations, Springer, Singapore, 2017.
微分拓扑
课程编码：011M5002Y 课时：40 学分：2.00 课程属性：专业普及课 主讲教师：苏阳
教学目的要求
本课程的目的是让学生掌握微分流形的基本拓扑概念和性质，进一步的要求是领会利用分析的方法研究流形拓扑性质的思想和技术。
预修课程
点集拓扑，微分流形初步
教材
Guillenmin & Pollack, Differential Topology
主要内容
1-2 微分流形的基本概念与例子（重点）；
3-4 浸入，嵌入，横截性；
5-6，Sard定理，Morse函数与Morse理论简介；
7-8，Whitney浸入与嵌入定理（难点）；
9-10，相交理论；
11-12，环绕数，应用：Jordan-Brouwer分离定理；
13-14，Borsuk-Ulam定理；
15-16，流形的定向，定向相交数；
17-18，Lefschetz不动点定理；
19-20，向量场，向量场的指标（重点）；
21-22，Poincare-Hopf定理（难点）；
23-24，Hopf映射度定理；
25-26，Euler示性数与三角剖分；
27-28，外代数与微分形式；
29-30，流形上的积分；
31-32，外微分与微分形式（重点）；
33-34，微分形式与DeRhan上同调（难点）；
35-36，Stokes定理（重点）；
37-38，积分与映射度；
39-40，Gauss-Bonnet定理（难点）。
参考文献
J. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint （中文版：微分观点看拓扑）
M. Hirsch, Differential Topology
张筑生，微分拓扑讲义
数值线性代数
课程编码：011M4008H 课时：40 学分：2.00 课程属性：专业核心课 主讲教师：黄记祖
教学目的要求
本课程为计算数学专业硕士研究生的专业核心课，同时可做为数学学科其他专业及物理、力学、化学等专业研究生的选修课。本课程的主要内容包括：1. 线性代数方程组的直接解法与迭代法；2. 最小二乘问题的数值方法；3. 特征值问题的计算方法。
通过本课程的学习，希望学生掌握数值线性代数的基本内容和基本方法，对矩阵计算的最新动态有初步了解，能运用所学方法上机实算，为今后从事科研工作打下基础。
预修课程
数学分析或高等数学、线性代数、泛函分析初步
教材
1. 徐树方，《矩阵计算的理论与方法》，北京大学出版社，北京，1995。
2. G．H．戈卢布，C. F. 范洛恩 (袁亚湘等译)，《矩阵计算》，科学出版社，北京，2001。
主要内容
第一章 矩阵代数基础
向量范数和矩阵范数；（1学时）
Schur 分解和奇异值分解；（2学时，教学重点和难点）
子空间距离；（1学时）
Perron-Frobenius 定理；(2学时，教学重点和难点）
Bauer-Fike 定理；Hoffman-Wielandt 定理；Hermite 矩阵的极大极小定理；（2学时，教学重点和难点）
病态问题和算法数值稳定性；（1学时，教师指导下的讨论）
Householder 变换；Givens 变换；Gauss 变换。（1学时）
第二章 线性方程组的直接解法
Gauss 消去法；Cholesky 分解；LTL分解；（3学时）
特殊矩阵解法。（3学时，教学重点和难点）
第三章 线性代数方程组的迭代解法
基本迭代法及其收敛性；（2学时）
H 矩阵与迭代收敛性；（2学时，教学重点和难点）
Chebyshev 半加速法；共轭梯度法；（2学时，教学重点和难点）
不完全LU分解；不完全Cholesky 分解；（2学时）
多重网格法和区域分解法简介。（1学时）
第四章 最小二乘问题的数值解法
正规化方法与正交化方法；（2学时，教学重点和难点）
列主元 QR 分解。（1学时）
第五章 求解特征值问题的 QR 方法
乘幂法；子空间迭代法；（2学时，教学重点和难点）
双重步位移的QR法；（2学时，教学重点和难点）
对称QR算法；三对角方法；（2学时，教学重点和难点）
Jacobi 方法；SVD 的计算；（1学时）
广义特征值的QZ方法。（1学时）
第六章 Lanczos 方法
Lanczos 迭代及其基本性质；K-P-S 理论；（2学时，教学重点和难点）
Lanczos 算法；Arnoldi 方法；GMRES方法。（2学时，教学重点和难点）
参考文献
1. R.A. Horn and C.R. Johnson, Matrix Analysis, Vol.1-2, Posts and Telecom Press, 2005.
2.Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Second Edition, Science Press, 2009.
3．G.W. Stewart, Matrix Algorithms, Vol. I-II, SIAM Philadelphia, 1998.
最优化计算方法
课程编码：011M1011H 课时：40 学分：2.00 课程属性：一级学科核心课 主讲教师：王晓
教学目的要求
本课程是计算数学和应用数学专业硕士研究生的学科基础课。本课程深入浅出地介绍最优化基本理论和方法，论述无约束最优化和约束最优化的最优性条件、计算方法以及各类算法的收敛性质。本课程还介绍部分特殊形式的优化问题和特殊处理方法。
希望学生通过本课程学习，对优化的理论和方法有较为全面的了解，初步掌握优化主要算法的用法和基本技巧
预修课程
数学分析、线性代数
教材
袁亚湘 著， 《非线性优化计算方法》 ，科学出版社，2008.
主要内容
第一章 引论
1 数学基础
2最优性条件及方法概述（重点）
第二章 一维优化及线搜索
3 牛顿法与割线法
4 精确线搜索方法
5-6 非精确线搜索方法（两个学时，重点、难点）
第三章 信赖域方法
7 算法框架与收敛性
8 信赖域子问题求解
第四章 梯度法与共轭梯度法
9 最速下降法
10 BB方法（重点）
11 共轭梯度法的导出（重点）
12 共轭梯度法的性质（难点）
13 非线性共轭梯度法（重点）
第五章 拟牛顿方法
14 牛顿法
15 拟牛顿法的导出（重点）
16 拟牛顿法的性质（难点）
17 有限内存BFGS方法
第六章 无导数方法
18 坐标轮换方法
19 模式搜索方法
第七章 非线性方程组与非线性最小二乘问题
20 Gauss-Newton方法（重点）
21 Levenberg-Marquardt方法（重点）
第八章 非线性约束优化问题
22 问题描述
23 最优性条件（重点、难点）
第九章 罚函数方法
24 非精确罚函数
25 精确罚函数（难点）
第十章 二次规划
26 最优性条件与对偶理论（重点、难点）
27 消去法
28 积极集方法
29 内点法
第十一章 可行方向法
30 消去法
31投影梯度法
第十二章 逐步二次规划方法
32 Lagrange-Newton方法（重点）
33 SQP方法算法框架（重点）
34 SQP方法超线性收敛性
35 SQP方法 Maratos 效应
36信赖域SQP方法（难点）
第十三章 filter方法
37 filter方法简述
第十四章 内点法
38 内点法概述
第十五章 内容选讲
39 矩阵优化
40 稀疏优化
参考文献
1. Jorge Nocedal, Stephen J. Wright, 《Numerical Optimization》, Springer, 2006.
2. 袁亚湘、孙文瑜 著， 《最优化理论与方法》 ，科学出版社，1997.
高等数理统计
课程编码：011M1013H 课时：60 学分：3.00 课程属性：一级学科核心课 主讲教师：张三国
教学目的要求
本课程为概率论与数理统计专业硕士、博士研究生的学科基础课，也可作为数学学科各专业，以及其他理科各专业研究生的选修课。统计学内容十分丰富，主要系统的讲授数理统计基础性的概念、方法、理论和计算，为今后学习统计学的各个分支、从事专业研究以及应用统计学打下基础。本课程主要内容为点估计、假设检验、置信区间、Bayes统计推断。
预修课程
概率论与数理统计
教材
主要内容
第一章 预备知识
样本空间与样本分布族、指数分布族、Fisher信息量、统计量及其充分性、Neyman因子分解定理、极小充分统计量、完全统计量、秩序统计量及有关分布、Wald统计决策理论；估计的可容许性
第二章 点估计
矩估计、极大似然估计(MLEs)、无偏估计、一致方差最小无偏估计、 Rao-Blackwell 定理、Lehmann-Scheffe 定理、Cramer-Rao下界、点估计的大样本性质、Delta方法、极大似然估计(MLEs)、Kullback-Leibler距离；一维MLEs渐近理论、Expected 和observed Fisher信息量、多维情形、MLEs数值计算、Newton-Raphson算法、Fisher scoring 算法、不完全数据和EM算法、渐近相对效率、Bayes方法简介与Bayes估计、Stein现象与收缩估计、不变估计、Pitman估计
第三章 假设检验
检验函数、检验的水平与功效、Neyman-Pearson引理、一致最优检验(UMP检验)、单调似然比的UMP检验、一致最优无偏检验(UMPU检验)、指数族的UMPU检验、正态分布参数的UMPU检验、不变检验、检验的p值、似然比检验、Wald检验、Score检验、似然比检验、Wilks定理、Wald检验、Score检验、非参数检验；符号检验、置换检验、Wilcoxon秩检验、拟合优度检验、Kolmogorov-Smirnov检验、Cramer-von Mises检验
第四章 置信区间(区域)
置信区间及优良性、渐近置信区间(区域)、枢轴(Pivotal)方法、假设检验构造置信区间(区域)、Fiducial方法
第五章 Bayes统计与统计决策
Bayes方法、共轭和无信息先验、多层Bayes、经验Bayes、Bayes检验、Bayes HPD置信区间(区域)、Minimax估计
参考文献
1. 茆师松、王静龙、濮晓龙编著，《高等数理统计》，高等教育出版社，1998。
2. 陈希孺著，《数理统计引论》，科学出版社，1997。
3．E.L. Lehmann, G.. Casella Theory of Point Estimation, 2nd edition,1998。
4．E.L. Lehmann, Testing Statistical Hypotheses, 2nd edition,1986。
5．Jun Shao, Mathematical Statistics, 2nd Edition, Springer，2003.
数值分析
课程编码：011M2001H 课时：40 学分：2.00 课程属性：一级学科普及课 主讲教师：王晓
教学目的要求
本课程为计算数学和应用数学专业硕士研究生的专业普及课，同时也可作为物理、力学、化学及工程科学等专业硕士研究生的选修课。本课程的主要内容包括：1. 基本概念；2. 线性方程组数值求解；3. 函数逼近；4．数值积分；5. 矩阵特征值数值计算；6.非线性方程数值求解；7.常微分方程数值解。 通过本课程的学习，希望学生掌握数值分析的基本内容和基本方法，能运用所学方法上机实算，为今后从事科学与工程计算打下基础。
预修课程
微积分、线性代数、常微分方程
教材
1. J. Stoer, R. Bulirsch，Introduction to Numerical Analysis, 2nd Edition, Springer-Verlag, 1991.
2. 李庆扬、王能超、易大义，《数值分析》第四版，清华大学出版社，2001。
主要内容
第一章：基本概念（4学时）
浮点数运算与舍入误差（1学时）；算法的复杂性、收敛性、稳定性(2学时)；问题的病态性（1学时）。
教学重点与难点：使学生了解计算机运算舍入误差的来源，明确算法研究的主旨和基本问题。
第二章：线性方程组数值解（6学时）
直接法：全选主元和列选主元的Gauss消去法、Doolittle分解、追赶法、Cholesky分解（2学时）；
迭代法：Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、SOR迭代、收敛性、收敛速度 （2学时）；
Krylov子空间方法：最速下降法、共轭梯度法（2学时）。
教学重点与难点：使学生了解三大类方法的基本思想、方法和联系、区别，算法的复杂性、收敛性，会使用这些方法上机实算。
第三章：函数逼近（6学时）
Lagrange、Newton、Hermite 插值，分段线性、Hermite保形插值、三次样条插值（2.5学时）；
最小二乘曲线拟合（1.5学时）；正交多项式与函数最佳平方逼近（2学时）。
教学重点与难点：使学生了解函数的离散与连续逼近的基本思想、方法及相互联系，算法的数值特性，会利用方法进行相应的数据处理或模型拟合、函数逼近。
第四章：数值积分（6学时）
Newton-Cotes型求积公式（1.5学时）；复化求积公式（1学时）；Romberg求积公式（1.5学时）；Gauss型求积公式（2学时）。
教学重点与难点：讲清各种求积公式的原理、方法和联系，及其收敛性、稳定性。
第五章：非线性方程和方程组求解（6学时）
不动点和不动点迭代、Newton迭代、收敛性、收敛阶（3学时）；
迭代加速：Aitken加速、Steffensen迭代（1学时）；
割线法与Mueller法（1学时）；非线性方程组的Newton迭代法（1学时）。
教学重点与难点：迭代法及其加速的原理，收敛阶的判断和改进。
第六章：常微分方程数值解（7学时）
单步法：Euler法、梯形法、预估校正法、局部、整体截断误差、收敛阶（2.5学时）；Runge-Kutta法、相容性、稳定性、绝对稳定域（2.5学时）；
线性多步法：基本概念、Adams法、待定系数法、预估校正法 （2学时）。
教学重点与难点：算法构造的思想、相容性、收敛阶、稳定域的判断。
第七章：特征值的计算方法（5学时）
乘幂法与反幂法（1.5学时）；Householder变换、Givens变换（1.5学时）；QR算法（2学时）
教学重点与难点：讲清算法的原理。
参考文献
1. H. R. Schwarz，Numerical Analysis， A Comprehensive Introduction: With a Contribution by J. Waldvogel， Chichester: Wiley，1989.
2. 蔡大用，白峰杉，《高等数值分析》，清华大学出版社，1997。
3. 白峰杉，《数值计算引论》，高等教育出版社，2004。
4. Michael T. Heath, Scientific Computing, An Introductory Survey, 2nd Edition, McGraw-Hill Companies, Inc. 2002.
代数拓扑Ⅰ
课程编码：011M1007Y 课时：60 学分：3.00 课程属性：一级学科核心课 主讲教师：余建明
教学目的要求
本课程为基础数学中几何与拓扑专业研究生的学科必修课，同时也可作为相关专业研究生的选修课。拓扑学与代数学、分析学共同组成了现代数学的三大支柱。 拓扑学的结果与方法影响到各门数学分支，在物理学、计算机科学、经济学等许多自然科学与社会科学领域中也有着广泛的应用。
代数拓扑学的目的是提供研究拓扑问题的代数方法，包括各种代数不变量的构造与计算方法。本课程要介绍的不变量为基本群、同调群、上同调群与上同调环，核心内容为它们的定义与计算方法。希望通过本课程的学习，学生能掌握它们的定义与基本性质，对代数拓扑的问题及解决方法有初步了解，为进一步学习现代数学及从事各种专业研究打下基础。
预修课程
抽象代数、点集拓扑
教材
主要内容
1）基本群与覆盖空间（教学重点，8学时）；
2）Seifert-van Kampen 定理（4学时）；
3）曲面的分类（教学重点，6学时）；
4）覆盖空间的分类（2学时）；
5）奇异同调群的定义及性质（教学重点，10学时）；
6）球面同调群及其应用（2学时）；
7）射影空间的同调群（2学时）；
8）同调代数基础（教学重点，4学时）；
9）一般系数同调群（2学时）；
10）万有系数定理（2学时）；
11）Künneth 定理（2学时）；
12）奇异上同调（教学重点，6学时）；
13）杯积与上同调代数（3学时）；
14）帽积与Poincarè 对偶定理（3学时）；
15） Borsuk-Ulam 定理及其应用（4学时）。
参考文献
1.J.R.Munkres : Topology 2nd ed, 2000
2.J.W.Vick: Homology Theory, 2nd ed, GTM 145,1994
微分流形
课程编码：011M1003Y 课时：60 学分：3.00 课程属性：一级学科核心课 主讲教师：吴英毅
教学目的要求
本课程为数学学科各专业博士、硕士研究生的学科基础课。同时也可作为物理学、力学等专业研究生的选修课。微分流形己成为现代数学研究的基本对象。本课程讲授微分流形与李群的基本知识。通过本课程的学习，希望学生能初步掌握微分流形的基本概念、方法和技巧。为进一步学习微分几何、微分拓扑、几何分析等相关课程打下坚实基础。
预修课程
多元微积分，点集拓扑
教材
主要内容
“*”表示重点和难点
第一章 微分流形的基本概念（9学时）
*第一节 微分流形的定义及例子（3学时）
第二节 光滑函数、光滑映射和映射的秩（2学时）
第三节 反函数定理和隐函数定理（1学时）
*第四节 浸入与淹没、子流形（3学时）
第二章 流形上的向量场（10学时）
第一节 流形上一点处的切空间，切映射（2学时）
第二节 向量场，光滑向量场和光滑向量场的李括号（2学时）
*第三节 光滑分布、对合分布、可积性与Frobenius定理（6学时）
第三章 张量代数（9学时）
第一节 向量空间、对偶空间与张量代数（2学时）
第二节 对称与反称张量（2学时）
第三节 单位分解定理（1学时）
第四节 张量场与Riemann度量（2学时）
第五节 外代数（2学时）
第四章 外微分形式（8学时）
第一节 余切空间与线性微分式（1学时）
*第二节 外微分与外形式（4学时）
*第三节 外微分形式的Frobenius定理（3学时）
第五章 流形上的积分与Stokes定理（14学时）
第一节 流形的定向（2学时）
第二节 外微分形式的积分（3学时）
*第三节 带边流形与诱导定向（4学时）
*第四节 Stokes定理（2学时）
*第五节 Stokes定理的应用（3学时）
第六章 李群简介（10学时）
第一节 李群的定义及例子（2学时）
第二节 李群上的左不变向量场，李群的李代数（2学时）
第三节 李群同态，单参数子群，指数映射（3学时）
第四节 李子群定理，闭子群定理（3学时）
参考文献
1. Warner, F.W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, GTM Vol.94，Springer-Verlag and China Academic Publishers, Beijing,1983。
2. 陈省身、陈维桓著，《微分几何讲义》，北京大学出版社，北京，1983。
3. 白正国，沈一兵等，《黎曼几何初步（修订版）》，高等教育出版社，北京，2004。
4. William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry（英文版.第二版修订版）, 人民邮电出版社，北京，2007。
代数学Ⅰ
课程编码：011M1002Y 课时：60 学分：3.00 课程属性：一级学科核心课 主讲教师：胡永泉
教学目的要求
本课程是基础数学硕士生的代数系列课程之一，目的是为基础数学方向的研究生及其它需要较多代数知识的专业提供扎实的代数学基础。其它方向的学生也可通过此课程获得现代代数学的训练、常识或修养。内容包括Galois理论、模论、环论和有限群的表示理论。
预修课程
高等数学、线性代数、点集拓扑、抽象代数基础（主要是群论、环论、域论基础）
教材
教师自编讲义
主要内容
第一章 Galois理论 — 基本定理和应用， 有限域扩张的Galois理论， 超越扩张和Noether正规化定理等，*Kummer扩张，*无限Galois理论。约12课时。
第二章 模论 — Artin模， Noether模，合成列、Krull-Schmidt定理， 张量积及例子，双模，代数和余代数，半单模的稠密定理。约16课时。
第三章 环论 — 本原与半本原性及Jacobson根， 半本原Artin环的结构理论， Burnside定理， 有限维中心单代数（同态的扩张，中心化定理）， *单环的Wedderburn-Artin定理， *Brauer群, *Clifford代数。约16课时。
第四章 有限群的表示理论 — 完全可约性，特征标，正交关系，诱导和限制表示及Frobenius互反定理，Brauer定理等。约16课时。（标*者为选讲内容，时间不够则不讲）
教学重点与难点：Galois理论及其实例、模与代数的张量积、中心单代数的结构、有限群表示论的Brauer定理。
参考文献
1.Nathan Jacobson, Basic algebra. I. Second edition. W. H. Freeman and Company, New York, 1985. xviii+499 pp. ISBN: 0-7167-1480-9
2.Nathan Jacobson, Basic algebra. II. Second edition. W. H. Freeman and Company, New York, 1989. xviii+686 pp. ISBN: 0-7167-1933-9
3.T. Y. Lam, A first course in noncommutative rings. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, New York, 2001. xx+385 pp. ISBN: 0-387-95183-0
4.Serge Lang, Algebra. Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-Verlag, New York, 2002. xvi+914 pp. ISBN: 0-387-95385-X
5.Jean-Pierre Serre, 郝鈵新 (译者), 有限群的线性表示. 数学翻译丛书. 北京：高等教育出版社, 2007. ISBN: 978-7-04-022040-7
代数数论I、II
课程编码：011D9103Z﹡ 课时：80 学分：4.00 课程属性：其它 主讲教师：田野
教学目的要求
预修课程
教材
主要内容
(一)、代数数论基础(64学时)
(1)、 数域及代数整数环，二次数域及分圆域，Dedekind整环及其扩张，素理想分解。(16学时)
(2)、类群及单位群 (有限性定理), 二元二次型。(8学时)
(3)、Riemann Zeta函数，Dirichlet L-函数、Dedekind
Zeta函数及类数公式， 及算术应用。(16学时)
(4)、局部域、离散赋值环，局部方法。(14学时)
(5) Adele环，Idele群及类群， Hecke L-函数，类域论初步。(10学时)
(二)、代数数论选讲(16学时，有如下选项)
(1)、Tate’s Thesis。
(2)、类域论。
(3)、分圆单位的Euler系。
参考文献
[1] S. Lang：Algebraic Number Theory , Second Edition, Graduate Texts in Mathematics 110, Springer-Verlag, New York-Heidelberg,1994.
[2] J. Cassels and A. Frohlich：Algebraic Number Theory,Proceedings of the Brighton Conference, Academic Press, New York,1968.
[3] J. Neukirch：Algebraic Number Theory, Springer, Heidelberg,2013.
[4] E. Artin and j. Tate：Class Field Theory, Benjamin, New York,1967.
[5] A. Weil：Basic Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1968.
[6] L. Washington: Introduction to cyclotomic fields, Second Edition, Graduate Texts in Mathematics 83, Springer-Verlag, New York, 1997.
[7]S. Lang: {\it Cyclotomic Fields I and II}, Combined Second Edition,Graduate Texts in Mathematics 110, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1990.
代数几何I、II
课程编码：011D9102Z﹡ 课时：80 学分：4.00 课程属性：其它 主讲教师：付保华
教学目的要求
预修课程
教材
主要内容
(一）、 代数簇 （40 学时）
(1)、 层论与环空间(ringed space)。
(2)、 仿射代数簇，正则函数，态射，范畴等价， 零点定理。
(3)、 射影代数簇，有理函数，态射， properness。
(4)、 一般代数簇，态射，乘积。
(5)、 切空间，光滑性，维数。
(6)、 有限态射，Bertini定理。
(二）、 层的上同调 (20 学时)
(1)、 导函子。
(2)、 形式de Rham定理。
(3)、 仿射代数簇的上同调。
(4)、 Cech上同调。
(5)、 Serre基本定理。
(6)、 Serre对偶。
(三)、 Riemann-Roch公式 （20 学时）
(1)、 因子与线丛, Picard群。
(2)、 线丛的度与Riemann-Roch公式。
(3)、 向量丛。
(4)、 向量丛的Riemann-Roch公式。
参考文献
[1] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in
Mathematics 52, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
[2]J.Le Potier, Geometrie Algebrique, Lecture Notes.
[3]I. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, I、 II, Springer,
Heidelberg, 2013.
数值线性代数 011M4008H
英文名称： Numerical Linear Algebra
教学目的、要求
本课程为计算数学专业硕士研究生的专业核心课，同时可做为数学学科其他专业及物理、力学、化学等专业研究生的选修课。本课程的主要内容包括：1. 线性代数方程组的直接解法与迭代法；2. 最小二乘问题的数值方法；3. 特征值问题的计算方法。
通过本课程的学习，希望学生掌握数值线性代数的基本内容和基本方法，对矩阵计算的最新动态有初步了解，能运用所学方法上机实算，为今后从事科研工作打下基础。
预修课程
数学分析或高等数学、线性代数、泛函分析初步
教 材
1. 徐树方，《矩阵计算的理论与方法》，北京大学出版社，北京，1995。
2. G．H．戈卢布，C. F. 范洛恩 (袁亚湘等译)，《矩阵计算》，科学出版社，北京，2001。
主要内容
第一章 矩阵代数基础
向量范数和矩阵范数；（1学时）
Schur 分解和奇异值分解；（2学时，教学重点和难点）
子空间距离；（1学时）
Perron-Frobenius 定理；(2学时，教学重点和难点）
Bauer-Fike 定理；Hoffman-Wielandt 定理；Hermite 矩阵的极大极小定理；（2学时，教学重点和难点）
病态问题和算法数值稳定性；（1学时，教师指导下的讨论）
Householder 变换；Givens 变换；Gauss 变换。（1学时）
第二章 线性方程组的直接解法
Gauss 消去法；Cholesky 分解；LTL分解；（3学时）
特殊矩阵解法。（3学时，教学重点和难点）
第三章 线性代数方程组的迭代解法
基本迭代法及其收敛性；（2学时）
H 矩阵与迭代收敛性；（2学时，教学重点和难点）
Chebyshev 半加速法；共轭梯度法；（2学时，教学重点和难点）
不完全LU分解；不完全Cholesky 分解；（2学时）
多重网格法和区域分解法简介。（1学时）
第四章 最小二乘问题的数值解法
正规化方法与正交化方法；（2学时，教学重点和难点）
列主元 QR 分解。（1学时）
第五章 求解特征值问题的 QR 方法
乘幂法；子空间迭代法；（2学时，教学重点和难点）
双重步位移的QR法；（2学时，教学重点和难点）
对称QR算法；三对角方法；（2学时，教学重点和难点）
Jacobi 方法；SVD 的计算；（1学时）
广义特征值的QZ方法。（1学时）
第六章 Lanczos 方法
Lanczos 迭代及其基本性质；K-P-S 理论；（2学时，教学重点和难点）
Lanczos 算法；Arnoldi 方法；GMRES方法。（2学时，教学重点和难点）
参考文献
1. R.A. Horn and C.R. Johnson, Matrix Analysis, Vol.1-2, Posts and Telecom Press, 2005.
2.Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Second Edition, Science Press, 2009.
3．G.W. Stewart, Matrix Algorithms, Vol. I-II, SIAM Philadelphia, 1998.
最优化计算方法 011M1011H
课程安排
课程大纲
英文名称： Computational Methods for Optimization
教学目的、要求
本课程是计算数学和应用数学专业硕士研究生的学科基础课。本课程深入浅出地介绍最优化基本理论和方法，论述无约束最优化和约束最优化的最优性条件、计算方法以及各类算法的收敛性质。本课程还介绍部分特殊形式的优化问题和特殊处理方法。
希望学生通过本课程学习，对优化的理论和方法有较为全面的了解，初步掌握优化主要算法的用法和基本技巧
预修课程
数学分析、线性代数
教 材
袁亚湘 著， 《非线性优化计算方法》 ，科学出版社，2008.
主要内容
第一章 引论
1 数学基础
2最优性条件及方法概述（重点）
第二章 一维优化及线搜索
3 牛顿法与割线法
4 精确线搜索方法
5-6 非精确线搜索方法（两个学时，重点、难点）
第三章 信赖域方法
7 算法框架与收敛性
8 信赖域子问题求解
第四章 梯度法与共轭梯度法
9 最速下降法
10 BB方法（重点）
11 共轭梯度法的导出（重点）
12 共轭梯度法的性质（难点）
13 非线性共轭梯度法（重点）
第五章 拟牛顿方法
14 牛顿法
15 拟牛顿法的导出（重点）
16 拟牛顿法的性质（难点）
17 有限内存BFGS方法
第六章 无导数方法
18 坐标轮换方法
19 模式搜索方法
第七章 非线性方程组与非线性最小二乘问题
20 Gauss-Newton方法（重点）
21 Levenberg-Marquardt方法（重点）
第八章 非线性约束优化问题
22 问题描述
23 最优性条件（重点、难点）
第九章 罚函数方法
24 非精确罚函数
25 精确罚函数（难点）
第十章 二次规划
26 最优性条件与对偶理论（重点、难点）
27 消去法
28 积极集方法
29 内点法
第十一章 可行方向法
30 消去法
31投影梯度法
第十二章 逐步二次规划方法
32 Lagrange-Newton方法（重点）
33 SQP方法算法框架（重点）
34 SQP方法超线性收敛性
35 SQP方法 Maratos 效应
36信赖域SQP方法（难点）
第十三章 filter方法
37 filter方法简述
第十四章 内点法
38 内点法概述
第十五章 内容选讲
39 矩阵优化
40 稀疏优化
参考文献
1. Jorge Nocedal, Stephen J. Wright, 《Numerical Optimization》, Springer, 2006.
2. 袁亚湘、孙文瑜 著， 《最优化理论与方法》 ，科学出版社，1997.
数值分析 011M2001H
课程安排
课程大纲
英文名称： Numerical Analysis
教学目的、要求
本课程为计算数学和应用数学专业硕士研究生的专业普及课，同时也可作为物理、力学、化学及工程科学等专业硕士研究生的选修课。本课程的主要内容包括：1. 基本概念；2. 线性方程组数值求解；3. 函数逼近；4．数值积分；5. 矩阵特征值数值计算；6.非线性方程数值求解；7.常微分方程数值解。 通过本课程的学习，希望学生掌握数值分析的基本内容和基本方法，能运用所学方法上机实算，为今后从事科学与工程计算打下基础。
预修课程
微积分、线性代数、常微分方程
教 材
1. J. Stoer, R. Bulirsch，Introduction to Numerical Analysis, 2nd Edition, Springer-Verlag, 1991.
2. 李庆扬、王能超、易大义，《数值分析》第四版，清华大学出版社，2001。
主要内容
第一章：基本概念（4学时）
浮点数运算与舍入误差（1学时）；算法的复杂性、收敛性、稳定性(2学时)；问题的病态性（1学时）。
教学重点与难点：使学生了解计算机运算舍入误差的来源，明确算法研究的主旨和基本问题。
第二章：线性方程组数值解（6学时）
直接法：全选主元和列选主元的Gauss消去法、Doolittle分解、追赶法、Cholesky分解（2学时）；
迭代法：Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、SOR迭代、收敛性、收敛速度 （2学时）；
Krylov子空间方法：最速下降法、共轭梯度法（2学时）。
教学重点与难点：使学生了解三大类方法的基本思想、方法和联系、区别，算法的复杂性、收敛性，会使用这些方法上机实算。
第三章：函数逼近（6学时）
Lagrange、Newton、Hermite 插值，分段线性、Hermite保形插值、三次样条插值（2.5学时）；
最小二乘曲线拟合（1.5学时）；正交多项式与函数最佳平方逼近（2学时）。
教学重点与难点：使学生了解函数的离散与连续逼近的基本思想、方法及相互联系，算法的数值特性，会利用方法进行相应的数据处理或模型拟合、函数逼近。
第四章：数值积分（6学时）
Newton-Cotes型求积公式（1.5学时）；复化求积公式（1学时）；Romberg求积公式（1.5学时）；Gauss型求积公式（2学时）。
教学重点与难点：讲清各种求积公式的原理、方法和联系，及其收敛性、稳定性。
第五章：非线性方程和方程组求解（6学时）
不动点和不动点迭代、Newton迭代、收敛性、收敛阶（3学时）；
迭代加速：Aitken加速、Steffensen迭代（1学时）；
割线法与Mueller法（1学时）；非线性方程组的Newton迭代法（1学时）。
教学重点与难点：迭代法及其加速的原理，收敛阶的判断和改进。
第六章：常微分方程数值解（7学时）
单步法：Euler法、梯形法、预估校正法、局部、整体截断误差、收敛阶（2.5学时）；Runge-Kutta法、相容性、稳定性、绝对稳定域（2.5学时）；
线性多步法：基本概念、Adams法、待定系数法、预估校正法 （2学时）。
教学重点与难点：算法构造的思想、相容性、收敛阶、稳定域的判断。
第七章：特征值的计算方法（5学时）
乘幂法与反幂法（1.5学时）；Householder变换、Givens变换（1.5学时）；QR算法（2学时）
教学重点与难点：讲清算法的原理。
参考文献
1. H. R. Schwarz，Numerical Analysis， A Comprehensive Introduction: With a Contribution by J. Waldvogel， Chichester: Wiley，1989.
2. 蔡大用，白峰杉，《高等数值分析》，清华大学出版社，1997。
3. 白峰杉，《数值计算引论》，高等教育出版社，2004。
4. Michael T. Heath, Scientific Computing, An Introductory Survey, 2nd Edition, McGraw-Hill Companies, Inc. 2002.
微分方程数值解Ⅰ 011M4006H
英文名称： Numerical Solutions of Differential Equations Ⅰ
教学目的、要求
“微分方程数值解I”主要面向数学等各专业的理工课研究生的专业基础课，内容包括常微分方程初值与边值问题的数值解法, 抛物型、双曲型及椭圆型偏微分方程的有限差分数值解法的基本理论、重要格式与稳定性分析，以及边界元和有限元数值求解的重要方法。要求学生通过本课程的学习，掌握数值求解微分方程的重要理论和方法，为今后在各自的专业中应用这些方法解决具体问题进行深入研究奠定坚实的基础。
预修课程
数学分析，线性代数, 计算方法，数学物理方程
教 材
张文生 编著，《微分方程数值解法-有限差分理论方法与数值计算》，北京：科学出版社，2015
主要内容
第一章 常微分方程初、边值问题数值解法 (共16学时)
1.1 最简单的单步法－Euler方法及其误差估计 （重点） (1学时)
1.2 改进的Euler方法－梯形公式及其误差估计 （重点 (1学时)
1.3 高阶单步方法－Runge－Kutta方法 （重点） (2学时)
1.4 一般单步法的误差估计及收敛性分析 （重点） (1学时)
1.5 线性多步法 （难点）
1.5.1 Adams内插公式 (2学时)
1.5.2 Adams外插公式 (1学时)
1.5.3 待定系数法 (1学时)
1.6 线性多步法的稳定性、收敛性和误差估计 （难点） (1学时)
1.7 线性多步法的绝对稳定性分析 （重点） (1学时)
1.8 预估校正方法 （重点） (1学时)
1.9 刚性方程组的数值方法 (1学时)
1.10 常微分方程两点边值问题的数值方法 (2学时)
1.11 Hamilton系统的辛几何算法 (1学时)
第二章 有限差分近似基础 (共4学时)
2.1 导数的空间近似 （1学时）
2.2 导数的算子表示 （难点） （1学时）
2.3 任何阶精度差分算子的建立 （重点） （1学时）
2.4 非均匀网格上的差分 （重点） （1学时）
第三章 椭圆型方程的差分方法 (共6学时)
3.1 两点边值问题的差分格式 （重点） （1学时）
3.2 一维有限体积法（积分插值法） （重点） （1学时）
3.4 Laplace方程的差分格式 （重点） （1学时）
3.5 二维有限体积法及边界条件处理 （1学时）
3.6 Poisson方程5点差分格式的收敛性分析 （难点） （2学时）
第四章 有限差分格式的相容性、稳定性和收敛性 (共7学时)
4.1 初边值问题的相容性、稳定性和收敛性 （2学时）
4.2 Lax定理 （1学时）
4.3 Fourier级数法稳定性分析 （重点） （2学时）
4.4.矩阵法稳定性分析 （重点） （2学时）
第五章 抛物型方程的差分法法 (共4学时)
5.1 一维常系数扩散方程的两层、三层差分格式 （重点） （2学时）
5.2 二维热传导方程的交替方向差分格式 （重点） （2学时）
第六章 双曲型方程的差分方法 (共5学时)
6.1 线性对流方程的差分格式 （重点） （1学时）
6.2 特征线与差分格式 （重点） （1学时）
6.3二阶波动方程的差分方法 （1学时）
6.4 一阶双曲型方程组的差分格式 （1学时）
6.5 双曲型守恒律方程及守恒型差分格式 （1学时）
第七章 拟线性双曲方程的特征线差分方法 (共7学时)
7.1 双曲型方程组的正规形式 （重点） （2学时）
7.2 一阶拟线性双曲型方程的特征线方法 （重点） （2学时）
7.3 一阶拟线性双曲型方程组的特征线方法 （1学时）
7.4 二阶拟线性双曲型方程的特征性方法 （难点） （2学时）
第八章 边界元与有限元数值方法 (共10学时)
8.1 调和边值问题、Green公式和基本解 （1学时）
8.2 间接、直接边界归化 （重点） （2学时）
8.3 自然边界归化 （难点） （2学时）
8.4 边界积分方程的配置法 （重点） （1学时）
8.5 边界积分方程的Galerkin方法 （重点） （1学时）
8.6 三角形与矩形Lagrange型单元 （重点） （1学时）
8.7 三角形与矩形Hermite型单元 （1学时）
8.8 边界元与有限元耦合 （1学时）
参考文献
[1] 余德浩, 汤华中 编著,《微分方程数值解法》, 科学出版社, 2002.
[2] 陆金甫，关 冶 编著，《微分方程数值解法》，北京：清华大学出版社，2004.
计算机代数 011M4017Y
课程安排
课程大纲
教学目的、要求
本课程适合基础数学、应用数学、计算数学、计算机科学各专业的研究生作为专业基础课，也可供信息科学、密码学及系统科学等专业的研究生作为专业普及课。主要介绍计算机代数的经典理论、算法及应用，为学生将来从事有关方面的理论及应用研究奠定基础。
预修课程
高等代数、近世代数基础
教 材
陈玉福《计算机代数讲义》， 高等教育出版社，2009。
主要内容
第一章 引言（第1、2 学时）
计算机代数与数学计算、计算机代数系统（重点）、问题和实例演示。
第二章 数据表示与基本运算
第3、4 学时：大整数的四则运算及算法复杂度，
第 5、6 学时：多项式的带余除法及算法复杂度（重点）。
第7、8 学时：模运算（难点）与中国剩余定理。
第三章 结式与子结式
第9、10 学时：一元多项式结式（重点）、多项式公共零点与重根判定（难点）。
第 11、12 学时：行列式多项式、子结式（重点）、子结式链定理（难点）。
第 13、14 学时：子结式与余式序列、Cayley 结式、Dixon 结式、结式的应用。
第四章 整系数多项式的模运算
第15、16 学时：一元多项式最大公因式算法（重点），多元多项式最大公因式。
第17、18 学时：多项式的p-adic 表示、Newton 迭代、解Diophantus 方程（难点）。
第19、20 学时：一元多项式的无平方因式分解、Berlekamp 算法（难点）。
第21、22 学时：一元多项式分解的Hensel 提升算法（重点）、多元多项式的因式分解（难点）。
第五章 特征列方法
第23、24 学时：三角列概念与基本性质（重点）、升列、有限定理。
第25、26 学时：特征列、吴－Ritt 算法（重点）、多项式零点分解、几何定理证明。
第27、28 学时：不可约三角列、正则三角列与多项式零点分解。
第六章 Groebner 基
第29、30 学时：项序、Dickson 引理、多项式约化、Hilbert 基定理。
第31、32 学时：Groebner 基及其性质（重点）、s-多项式、Buchberger 算法。
第33、34 学时：计算多项式理想、消元理想、饱和理想。
第35、36 学时：Hilbert 零点定理、求零维理想零点的Groebner 基算法（重点）。
第七章 实系数多项式的根
第37、38 学时：实根估计：实根的界、相邻实根的距离。
第39、40 学时：实根个数判定：Sturm-Tariski 定理（重点）、Fourier 定理。
第41、42 学时：Descartes 符号法则、判别式系统。
第43、44 学时：实代数数的表示与运算（重点）、算法复杂度。
第八章 实闭域上的量词消去
第45、46 学时：实闭域公里体系、实闭域的基本性质。
第47、48 学时：半代数集的刻画：半代数系统、连通性、投影性质。
第49、50 学时：柱形代数分解算法（重点）
第51、52 学时：命题代数、量词消去法。
第九章 形式积分
第53、54 学时：微分域与微分扩张：微分算子、微分域、代数扩张、超越扩张、结构定理。
第55、56 学时：有理函数的积分：部分分式、有理部分、对数部分、积分公式。
第57、58 学时：初等函数积分：Liouville 原理、对数函数积分、指数函数积分、代数函数积分。
参考文献
1．J. von zur Gathen and J.Gerhard 《Modern Computer Algebra》，Combridge University
press, 1999
2．吴文俊《Mathematics Mechanization》，Science Press/Kluwer，Beijing 2000
3．刘木兰《Groebner 基理论及其应用》，科学出版社，2000
数值逼近 011M4009H
课程安排
课程大纲
英文名称： Numerical Approximation
教学目的、要求
本课程为计算数学专业硕士研究生的专业基础课，同时也可作为信号处理、计算机图形学相关专业研究生的选修课。本课程主要介绍数值逼近的数学基础和计算方法以及当前的发展趋势。通过本课程的学习，希望学生掌握逼近中的基本思想与方法。
预修课程
高等数学、线性代数
教 材
王仁宏，数值逼近，高等教育出版社，1999年。
主要内容
1、Weierstrass 逼近定理与卷积逼近 （2学时，教学重点与难点）
1.1 Weierstrass 逼近定理介绍及证明
1.2 好核
1.3 卷积逼近
2、卷积逼近的应用 （2学时）
2.1 卷积逼近方法证明Weierstrass 逼近定理
2.2 卷积逼近方法证明Fejer-Cesaro定理
3、多项式插值 （2学时）
3.1 Lagrange 插值公式
3.2 Newton 插值公式 .
3.3 多项式插值的误差
4、差商 （2学时，教学重点与难点）
4.1 差商的三种定义方式
4.1.1 递归定义
4.1.2 多项式插值首项系数定义
4.1.3 显式表达公式定义
4.2 差商的性质
4.3 差商中的公开问题
5、多元多项式插值 （2学时）
5.1 Lebesgue常数
5.2 插值算子
5.3 Bezout定理与Haar 定理
5.4 二元多项式插值点构造
5.5 多元多项式插值中的公开问题
6、 范数下的最佳逼近 （2学时）
6.1 Kolmogorov 最佳逼近定理
6.2 Chebyshev 定理
6.3 Chebyshev 多项式
7、 范数下的最佳逼近 （2学时）
7.1 直交多项式
7.2 广义Fourier级数与Bessel 不等式
7.3 范数下的最佳逼近与压缩感知
8、Pade 逼近 （2学时）
8.1 Pade逼近定义及基本理论
8.2 Frobenius-Pade 定理
8.3 加速收敛算法
9、样条函数 （2学时）
9.1 单变量样条函数定义
9.2 单变量样条函数空间及维数
9.3 自然样条函数及性质
9.4 B-样条函数
9.4.1 截断幂插商观点
9.4.2 卷积观点
9.4.3 Fourier变换观点
10、非均匀样条函数 （2学时）
10.1 非均匀B-样条函数递归公式
10.2 Schoenberg-Whitney定理
11、多变量样条函数 (2学时，教学难点)
11.1 B-样条函数多元推广
11.2 任意三角剖分上样条函数
11.3 多变量样条函数维数
12、Bezier曲线与B-样条曲线 （2学时）
12.1 Bezier曲线及性质
12.2 B-样条曲线及性质
13、NURBS曲线、曲面 （2学时）
13.1 NURBS曲线定义
13.2 NURBS 曲线性质
13.3 NURBS 曲线与B-样条曲线关系
13.4 NURBS曲面及性质
14、数值积分（I）（2学时）
14.1 数值积分背景介绍
14.2 插值型求积公式及误差
14.3 Simpson求积公式
14.4 Romberg 方法
15 数值积分 (II) （2学时）
15.1 Gauss型求积公式
15.2 Gauss公式和Mehler公式
15.3 Euler-Maclaurin公式
16、快速Fourier变换 （2学时）
16.1 多项式两种表示方式
16.2 多项式插值点的选择与快速计算
16.3 离散Fourier变换
16.4 快速Fourier 变换
16.5 快速Fourier变换复杂性
17、采样定理 （2学时）
17.1 频率有限函数空间
17.2 Sinc 函数及性质
17.3 Shannon 采样定理
17.4 过采样与框架
18、框架 (I) （2学时）
18.1 框架的定义
18.2 伪逆
18.3 对偶框架
19、框架 (II) （2学时）
19.1 Riesz基
19.2 逆框架计算
19.3 框架投影与减噪
19.4 框架在量化中的应用
20、Gabor框架和小波框架 （2学时）
20.1 Gabor框架定义
20.2 Gabor框架的对偶框架
20.3 Gabor框架中的公开问题
20.4 小波框架定义
20.5 小波框架的对偶框架
参考文献
1. W. Cheney and W. Light, A Course in Approximation Theory，(中文名称：逼近论教程)，机械工业出版社，2004.
2. E. M. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis--An Introduction, Princeton University Press, 2003.
微分方程数值解Ⅱ 011M5007H
课程安排
课程大纲
英文名称： Numerical Solutions of Differential Equations Ⅱ
教学目的、要求
系统学习双曲型方程的数值方法，包括有限差分和有限体积方法，包括传统的TVD方法和热门的WENO方法，间断有限元方法。掌握双曲型方程的数值格式理论，了解现代科学计算方法的设计思路，能够独立编制一维或者二维模型问题的程序作业，完成完整的书面计算报告
预修课程
教 材
主要内容
第一章 有限差分法的理论基础 （重点） 10学时
1. 构造差分格式的主要方法； 2学时
2. 差分格式的一般性要求； 2学时
3. Lax等价性定理； 2学时
4. 差分格式的von Neumann稳定性分析方法； 2学时
5. 差分格式的修正方程。 2学时
第二章 一维非线性双曲型守恒律的数值方法 10学时
1. 非线性双曲型守恒律的间断解、弱解、熵条件； 2学时
2. 标量守恒律的Riemann问题解及Godunov格式； 2学时
3. 熵修正、数值粘性、Osher格式及高分辨率波传播格式； 2学时
4. 守恒型与Lax-Wendroff定理、非线性稳定性及收敛性；（难点） 2学时
5 非线性守恒律方程组的MUSCL格式。 2学时
第三章 多维双曲型守恒律的高分辨率格式 10学时
1. 多维方程组的双曲性； 2学时
2．Lax-Wendroff方法、Runge-Kutta推进的半离散方法、维数分裂方法； 2学时
3. 标量方程组的L-W方法、Godunov 格式及角迎风格式； 2学时
4. 多维标量方程组的高分辨率格式； 2学时
5. 多维向量方程组的高分辨率格式。 2学时
第四章 双曲型守恒律的其它高分辨率方法（难点） 10学时
1. ENO与WENO格式； 5学时
2. 间断有限元方法。 5学时
参考文献
R. Leveque, Numerical methods for conservation laws, ETH Zurich, 1992.
C.A.J. Fletcher, Computational Techniques for Fluid Dynamics 1, (second edition), Spinger-Verlag, 1991.
微分拓扑 011M5002Y
课程安排
课程大纲
英文名称： Differentiable Topology
教学目的、要求
本课程的目的是让学生掌握微分流形的基本拓扑概念和性质，进一步的要求是领会利用分析的方法研究流形拓扑性质的思想和技术。
预修课程
点集拓扑，微分流形初步
教 材
Guillenmin & Pollack, Differential Topology
主要内容
1-2 微分流形的基本概念与例子（重点）；
3-4 浸入，嵌入，横截性；
5-6，Sard定理，Morse函数与Morse理论简介；
7-8，Whitney浸入与嵌入定理（难点）；
9-10，相交理论；
11-12，环绕数，应用：Jordan-Brouwer分离定理；
13-14，Borsuk-Ulam定理；
15-16，流形的定向，定向相交数；
17-18，Lefschetz不动点定理；
19-20，向量场，向量场的指标（重点）；
21-22，Poincare-Hopf定理（难点）；
23-24，Hopf映射度定理；
25-26，Euler示性数与三角剖分；
27-28，外代数与微分形式；
29-30，流形上的积分；
31-32，外微分与微分形式（重点）；
33-34，微分形式与DeRhan上同调（难点）；
35-36，Stokes定理（重点）；
37-38，积分与映射度；
39-40，Gauss-Bonnet定理（难点）。
参考文献
J. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint （中文版：微分观点看拓扑）
M. Hirsch, Differential Topology
张筑生，微分拓扑讲义