树状数组

一、使用原因

一般的数组修改操作的复杂度是O(1)，求前缀和操作的复杂度是O(n)；而同时维护一个前缀和数组时修改操作的复杂度是O(n)，求前缀和操作复杂度是O(1)；

当我们有m次操作时，时间复杂度就会达到O(mn)，达到了平方级别，而我们维护一个树状数组时求前缀和和修改操作的复杂度是O(logn)，总时间复杂度只有O(mlogn)，达到了很快的程度。

首先要了解lowbit运算，二进制分解下最小的2的次幂。即当我们求11100的lowbit时返回的是100(二进制下)。

1 int lowbit(int x)
2 {
3     return x & -x;
4 }

二、基本思想

树状数组的本质思想是使用树结构维护”前缀和”，从而把时间复杂度降为O(logn)。

考虑一个区间[1,x]，对于x，我们将其二进制展开成x=2 ^ i1 + 2 ^ i2 + 2 ^ i3 .......​+ 2 ^ ik，设i1 > i2 > i3 >.....> ik，所以我们可以把这个区间分成 log x 个小区间，长度分别为([1,2 ^ i1])，