浅谈sympy库在高数和线代方面的应用

本博客参考：《python数学实验与建模 科学出版社》

sympy库常见模块简介

sympy包含诸多功能，包括多项式、微积分、求解方程、离散数学等

模块名	描述
abc	符号变量模块
calculus	积分运算
core	基本加乘指数运算
discrete	离散数学
functions	基本函数及特殊函数
galgebra	几何代数
geometry	几何实体
integrals	符号积分
matrices	线性代数和矩阵
ntheory	数论函数
physics	物理学
plotting	二维三维绘图
stats	统计学

高等数学

求极限

（1）$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tan3x}{2x}$
（2）$\underset{x\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{x}{)}^x$

from sympy import symbols,limit,oo
import sympy as sp
x=symbols('x')
limit(sp.tan(3*x)/(2*x),x,0)
>>> 3/2
limit(pow(1+1/x,x),x,oo)
>>> e

注意：在使用sympy库，一般情况下不需要引入numpy库，因为sympy主要是符号运算，numpy主要是数据运算，就对于上式中的自变量x来说，它是一个类似于字符串的数据类型，如果上式变成：limit(np.tan(3*x)/(2*x),x,0)，就会引发下面错误：AttributeError: ‘Mul’ object has no attribute ‘tan’，TypeError: loop of ufunc does not support argument 0 of type Mul which has no callable tan method

求偏导

已知函数$z=x^{3}y-y^{3}x$，求$\frac{\partial z}{\partial x}、\frac{\partial z}{\partial y}、\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}$

from sympy import diff,symbols
x,y=symbols('x y')
z=x**3*y-y**3*x
diff(z,x),diff(z,y),diff(z,x,2)
>>> (3*x**2*y - y**3, x**3 - 3*x*y**2, 6*x*y)

级数求和

求下面式子的累加和：$\sum _{k=1}^n(k-1{)}^2=\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$

from sympy import symbols,summation,factor
k,n=symbols('k n')
summation((k-1)**2,(k,1,n))
>>> ^3/3−^2/2+/6
factor(summation((k-1)**2,(k,1,n)))# 因式分解
>>> (−1)(2−1)/6

泰勒展开式

泰勒公式的意义在于利用多项式函数逼近比较复杂的原函数，利用多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，更容易地获取原函数的信息

求xsinx在0点处的3,5,7阶泰勒展开式

解：$$\begin{gathered} 三阶：x^2+O(x^3) \\ 五阶：x-\frac{x^3}{6}+O(x^5) \\ 七阶：x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+O(x^7) \end{gathered}$$

程序实现

from sympy import series,sin
x=symbols('x')
y=x*sin(x)
series(y,x,0,3)
>>> ^2+(^3)
series(y,x,0,5)
>>>−^3/6+(^5)
series(y,x,0,7)
>>>−^3/6+^5/120+(^7)

不定积分、定积分

（1）${\int }_0^1{e}^{\sqrt{x}}dx=2$
（2）${\int }_0^{+\infty }\frac{sinx}{x}dx=\frac{\pi }{2}$

from sympy import integrate,symbols,sin,oo,E,sqrt
x=symbols('x')
integrate(E**sqrt(x),(x,0,1))
>>> 2
integrate(sin(x)/x,(x,0,oo))
>>> /2

求解代数方程

（1）求解方程组
$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=8\\ x+y=0\end{array}$$

from sympy.abc import x,y
from sympy import solve
s=solve([x**2+y**2-8,x+y],[x,y])
s
>>> [(-2, 2), (2, -2)]

（2）求函数$f(x)=2x^3-5x^2+x$的驻点

函数的一阶导数为0的点(驻点也称为稳定点，临界点)。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为零的

求解微分方程

求下列微分方程的通解
（1）$3x^2+5x-5y^{\prime }=0$
（2）$y^{\prime \prime }=y^{\prime }+x$
（3）$y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=0,其中y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$

from sympy import symbols,diff,Function,dsolve
x=symbols('x')
y=symbols('y',cls=Function)
ep1=3*x**2+5*x-5*diff(y(x),x)
dsolve(ep1,y(x))
>>> ()=1+^3/5+^2/2
ep2=diff(y(x),x,2)-diff(y(x),x)-x
dsolve(ep2,y(x))
>>> ()=1+2e^x−^2/2−
ep4=diff(y(x),x,2)-5*diff(y(x),x)+6*y(x)
dsolve(ep4,y(x),cls={y(0):1,diff(y(x),x).subs(x,0):0})
>>> y(x)=(C1+C2e^x)e^(2x)

绘图（plotting子模块）

二维曲线

在同一坐标轴上画出$y_1=2sinx,x\in [-6,6]，y_2=cos(x+\frac{\pi }{2}),x\in [-5,5]$的图像

from sympy.plotting import plot
from sympy import sin,cos
plot((2*sin(x),(x,-6,6)),(cos(x+pi/2),(x,-5,5)))

运行结果

三维图像

绘制出三维曲面$f(z)=sin(\sqrt{x^2+z^2})$

from sympy.plotting import plot3d
z=symbols('z')
from sympy import sqrt
plot3d(sin(sqrt(x**2+z**2)),(x,-10,10),(z,-10,10))

运行结果

隐函数

绘制出隐函数$(x-1{)}^2+(y-2{)}^3-4=0$的图像

from sympy import plot_implicit as pt,Eq
pt(Eq((x-1)**2+(z-2)**3,4),(x,-6,6),(z,-2,4))

运行结果

线性代数

矩阵运算

sympy库中矩阵由类sp.Matrix定义

矩阵类方法或属性	描述	数学符号
A.rank()	矩阵的秩	$R(A)$
A.T/A.transpose()	矩阵A的转置矩阵	$A^T$
A.inv()	A的逆矩阵	$A^{-1}$
sp.det(A)	矩阵A的行列式	$|A|$
A.norm()	矩阵A的模	$||A|{|}^2$

解线性方程组

求下面齐次线性方程组的基础解系
$$\{\begin{array}{l}2x_1+x_2-2x_3+3x_4=0\\ 3x_1+2x_2-x_3+2x_4=0\\ x_1+x_2+x_3-x_4=0\end{array}$$

C=sp.Matrix([[2,1,-2,3],[3,2,-1,2],[1,1,1,-1]])
C.nullspace()
>>>[Matrix([
 [ 3],
 [-4],
 [ 1],
 [ 0]]),
 Matrix([
 [-4],
 [ 5],
 [ 0],
 [ 1]])]

求下面方程组的通解
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-x_3+3x_4=2\\ 2x_1+4x_2-2x_3+5x_4=1\\ -x_1-2x_2+x_3-x_4=4\end{array}$$

import sympy as sp
D=sp.Matrix([[1,2,-1,3],[2,4,-2,5],[-1,-2,1,-1]])
E=sp.Matrix([2,1,4])
F=D.row_join(E)
F.rref()# 此处笔者只将增广矩阵转化为行最简形，不对下面步骤进行赘述
>>> (Matrix([
 [1, 2, -1, 0, -7],
 [0, 0,  0, 1,  3],
 [0, 0,  0, 0,  0]]),
 (0, 3))

特征值及特征向量

求下列矩阵的特征值及特征向量
$$M=\left[\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ & & \\ 0& 2& 0\\ & & \\ -4& 1& 3\\ & & \end{array}\right]$$

import sympy as sp
M=sp.Matrix([[-2,1,1],[0,2,0],[-4,1,3]])
M.eigenvals()# 特征值
>>> {2: 2, -1: 1}
M.eigenvects()# 特征向量
>>>  [(-1, 1, [Matrix([
    [1],
    [0],
    [1]])]),
  (2,
   2,
   [Matrix([
    [1/4],
    [  1],
    [  0]]),
    Matrix([
    [1/4],
    [  0],
    [  1]])])]

注意，eigenvals()函数返回值：{2:2,-1:1}，它表示{特征值:特征值对应的特征向量数量}，即${\lambda }_1={\lambda }_2=2$对应两个特征向量$[1/4,1,0]、[1/4,0,1]$，而${\lambda }_3=-1$对应一个特征向量$[1,0,1]$