计算机视觉之图像分割——水平集方法_ACWE2001

这篇博客介绍的是2001年的一篇文章Active Contours Without Edges，作者是Tony Chan。这篇文章介绍了一种改进的active contour图像分割或者说轮廓检测方法。作者首先分析了已有的active contour/snakes模型的缺点。作者认为在相关的模型中，能量函数中的图像能量基本上都是定义在图像梯度上的，通过梯度达到最大（即边缘）来让曲线演化停止。但是这种模型检测不到比较光滑的边缘。所以作者提出采用另一种停止曲线演化的策略：Munford-Shah分割技术。

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一个简单的例子引入能量函数

作者通过一个简单的例子引入自己的模型。现在我们先来看一下这个例子，从而直观感受到作者定义的能量函数在取得极小值时，对应的曲线就是我们希望得到的轮廓。首先说明一下下面将要用到的数学符号：

• Ω ： R2 中的有界开子集
• u0 ：从 Ω→R 的一个映射，这里表示图片
• C(s) ：从 [0,1]→R2 的映射，表示曲线
• ω ： Ω 中的开集，曲线 C 是其边界，即C=∂ω

假设给定一张图片 u0 ，这张图片比较特殊，由两块区域构成，其中区域一所有的像素点取值都为 ui0 ，区域二中所有的像素点取值都为 uo0 。现在我们希望得到区域一的轮廓。考虑下面的”fitting”项（称为fitting应该是因为这个函数控制着曲线最终拟合至物体边缘停止）：

F(C)=∫inside(C)|u0(x,y)−c1|2dxdy+∫outside(C)|u0(x,y)−c2|2dxdy(1)

其中常数 c1 和 c2 分别是曲线C内部像素点的均值和C外部像素点的均值。对于刚才介绍的特殊的图片，可以看出使得这个能量函数值最小的曲线C就是我们希望得到的区域一的轮廓，此时能量值为0（可以自行验证曲线C不是区域一轮廓的其他几种情况，对应的能量值都大于0）。
作者提出的模型其实就是上面的能量函数，另外还加上了曲线的长度、曲线内区域的面积等正则项：

F(C)=μ⋅Length(C)+ν⋅Area(inside(C))+λ1∫inside(C)|u0(x,y)−c1|2dxdy+λ2∫outside(C)|u0(x,y)−c2|2dxdy(2)

其中， μ≥0 ， ν≥0 ， λ1,λ2>0 。
作者把这个函数写成 F(c1,c2,C) ，但是由于 c1 和 c2 也是 C 的函数，所以这里写成F(C) 。

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其实是Mumford-Shah的特例

作者在文章中提到能量函数(1)是Mumford-Shah的特例，感觉只是为了说明因为Mumford-Shah有极小值，所以(1)也有极小值而已。

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用水平集函数表示曲线

现在怎么求解上面的极小值问题呢？作者把上面关于曲线C的能量函数写成关于水平集函数 ϕ 的能量函数（函数的函数——泛函），然后求解水平集函数。
要用 ϕ 替换公式(1)中的曲线 C ，需要引入两个函数，简称为H函数和Delta函数吧：

H(z)={10z≥0z<0

δ0(z)=ddzH(z)

那么现在可以把公式(1)重新写成：

F(c1,c2,ϕ)=μ∫Ωδ(ϕ(x,y))|∇ϕ(x,y)|dxdy+ν∫ΩH(ϕ(x,y))dxdy+λ1∫Ω|u0(x,y)−c1|2H(ϕ(x,y))dxdy+λ2∫Ω|u0(x,y)−c2|2(1−H(ϕ(x,y)))dxdy(3)

c1 和 c2 现在通过 ϕ 求出：

{c1(ϕ)=average(u0) in {ϕ≥0}c2(ϕ)=average(u0) in {ϕ<0}(4)

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变分法得到欧拉-拉格朗日公式

针对泛函极值问题，可以得到 ϕ 的欧拉-拉格朗日公式，其实就是一个偏微分方程：

∂ϕ∂t=δϵ(ϕ)[μ⋅div(∇ϕ|∇ϕ|)−ν−λ1(u0−c1)2+λ2(u0−c2)2]=0ϕ(0,x,y)=ϕ0(x,y) in Ωδϵ(ϕ)|∇ϕ|∂ϕ∂n⃗ =0 on ∂Ω(5)

其中 n⃗  是边界 ∂Ω 的外法线。
细心的读者是不是注意到Delta函数的下标从0变成 ϵ 了。作者在得到的欧拉-拉格朗日方程中，并没有用上面介绍的H函数以及对应的Delata函数，而是换成了下面的：

Hϵ=12(1+2πarctan(zϵ))

δϵ=H′ϵ=ϵπ1z2+ϵ2

当 ϵ→0 时， 分别收敛到H和 δ0 。为什么要这样做呢？因为原来的 δ0 基本上处处为0，是没办法求上面的欧拉-拉格朗日方程的。而现在 δϵ 的支撑集是整个实数集 R ，所以不管初始曲线是什么样，都可以得到全局最优解；另外还可以检测到内部的轮廓。
（对于这个 δϵ 的物理意义理解的不是很透彻。）

好了，到现在需要用到各种数学知识的理论部分已经结束了。现在需要做的就是想办法求解上面的偏微分方程。

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迭代法解偏微分方程

这里采用迭代法求解上面的偏微分方程。首先需要对偏微分方程离散化。这里怎么离散化的就不介绍了。总之，经过重重障碍，现在得到水平集函数 ϕ 的迭代形式：

ϕn+1i,j−ϕni,jΔt=δh(ϕni,j)[μ curvatureij−ν−λ1(u0,i,j−c1)2+λ2(u0,i,j−c2)2](6)

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算法

把上面所有的东西总结起来，其实就是下面简简单单的4个步骤（步骤4重新初始化是可选的，这里不介绍）：

• 随机初始化 ϕ0=ϕ0,n=0
• 根据公式(4)计算两个均值 c1 和 c2
• 根据迭代公式(6)求解 ϕn+1
• 重新初始化 ϕ ：因为这一步可用可不用，所以不介绍怎么重新初始化的
• 检查是否收敛，是的话则停止；否则回到步骤2

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我上传了一份Python的实现代码：https://github.com/VictoriaW1/ACWE。以后还会对这份代码进行优化，比如在每次更新 ϕ 后做平滑处理。

问题

• 为什么可以保证更新的 ϕ 的 ϕ=0 部分仍然能构成曲线？会不会变成不连续的点弥漫在整个图片上？