深度学习 Deep Learning UFLDL 最新Tutorial 学习笔记 5：Softmax Regression

Softmax Regression Tutorial地址：http://ufldl.stanford.edu/tutorial/supervised/SoftmaxRegression/

从本节开始，难度开始加大了，我将更详细地解释一下这个Tutorial。

1 Softmax Regression 介绍

前面我们已经知道了Logistic Regression，简单的说就判断一个样本属于1或者0，在应用中比如手的识别，那么就是判断一个图片是手还是非手。这就是很简单的分类。事实上，我们只要把Logistic Regression练习中的样本换成手的样本，那么就能用训练出来的结果来识别手了，因此Logistic Regression是非常有用且强大的算法。

那么在实际问题中，有很多问题需要分类的类别很多(multi-class classification)，比如数字识别，就有0~9 一共10个类，这个时候，我们需要对Logistic Regression进行扩展，这就是Softmax Regression。

因此也称为Multinomial Logistic Regression.

那么基本思想还是概率，我们需要计算p(y=j|x)即样本属于某一个类的概率，从而选择概率最大的那一个作为最终的结果。因此，对于h(x)即Hypothesis，现在就不再只是一个值，而是一个k维向量。

下面就是给出h(x)的表达式，我们在这里不需要深究这是如何得到的，而只需知道怎么用。按照Andrew Ng在某个lecture视频说的，先让东西work，再来理解。

hθ(x)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢P(y=1|x;θ)P(y=2|x;θ)⋮P(y=K|x;θ)⎤⎦⎥⎥⎥⎥=1∑Kj=1exp(θ(j)⊤x)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢exp(θ(1)⊤x)exp(θ(2)⊤x)⋮exp(θ(K)⊤x)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

那么大家从上面的公式可以看到，现在的参数theta也不再只是一个列向量，而是一个nxk的矩阵，每一行对应一个theta，因此可以如下denote：

θ=⎡⎣⎢⎢⎢|θ(1)||θ(2)||⋯||θ(K)|⎤⎦⎥⎥⎥.

2 Cost Function

那么在确定Hypothesis之后，下一步的工作就是确定Cost Function的表达以及每个theta的偏导也就是得到Gradient梯度从而使用梯度下降法。

Tutorial直接给出了Cost Function的表达式：

J(θ)=−⎡⎣⎢⎢∑i=1m∑k=1K1{y(i)=k}logexp(θ(k)⊤x(i))∑Kj=1exp(θ(j)⊤x(i))⎤⎦⎥⎥

然后如果k=2就是只有0或1，可以推出Logistic Regression的Cost Function是上面公式的特殊形式。

在Softmax Regression 中，有

P(y(i)=k|x(i);θ)=exp(θ(k)⊤x(i))∑Kj=1exp(θ(j)⊤x(i))

然后给出theta偏导的公式：

∇θ(k)J(θ)=−∑i=1m[x(i)(1{y(i)=k}−P(y(i)=k|x(i);θ))]

这里  ∇θ(k)J(θ)  本身是向量, 因此它的第j个元素是  ∂J(θ)∂θlk  ，  J(θ)  关于  θ(k) 的第j个元素的偏导。

3 Softmax Regression参数化的属性

这里介绍了Softmax Regression的一个特别属性，就是它的参数theta可以多重，即Redundant，就是有一组最优的参数theta，就可以推出无数其他组最优参数，原文下面这句话很关键：

if the cost function  J(θ)  is minimized by some setting of the parameters  (θ(1),θ(2),…,θ(k)) , then it is also minimized by  (θ(1)−ψ,θ(2)−ψ,…,θ(k)−ψ)  for any value of  ψ . Thus, the minimizer of  J(θ)  is not unique.

那么问题就来了，如果最优参数不唯一，那么怎么来计算呢？怎么最优化？

我们需要引入新的调节参数来保证可计算。这里有两种方法，一种就是指定一个参数为0，这样其他参数就唯一。

另一种是下一节介绍的。

4 Weight Decay 权值衰减

很简单的想法，把theta^2作为参数放进Cost Function中，问题就解决了，这和Regulization（防止overfit的处理）完全一样。

5 Softmax Regression vs. k Binary Classifiers

上面就是Softmax Regression的内容了，那么有另外一个问题：

对于上面识别10个数字的例子，我们只能用Softmax Regression吗？

显然不是，我们还可以用 K Binary Classifiers来解决。

什么意思呢？就是我们弄10个二进制的分类器，或者说十个Logistic Regression，然后一个一个判断某一个样本是属于1，还是2，还是3.。。。。

这样也是可以解决问题的。只不过很显然，这样的效率比较低。需要训练多个分类器

但是并不是所有的问题都是这样的，有时候我们不能使用Softmax Regression而只能使用k Binary Classifier。根本在于分类的类别是否相关。比如判断一个图片是属于动物，属于鸟类，属于老鹰。。。这些类是相关的，就不能用Softmax Regression来解决了。

6 exercise解答

方法和前面的练习都是一样的，最困难的问题在于如何用Vectorization来将Cost Function和Gradient表达出来。

下面是我的解答，只列出softmax_regression_vec.m

function [f,g] = softmax_regression_vec(theta, X,y)
  %
  % Arguments:
  %   theta - A vector containing the parameter values to optimize.
  %       In minFunc, theta is reshaped to a long vector.  So we need to
  %       resize it to an n-by-(num_classes-1) matrix.
  %       Recall that we assume theta(:,num_classes) = 0.
  %
  %   X - The examples stored in a matrix.  
  %       X(i,j) is the i'th coordinate of the j'th example.
  %   y - The label for each example.  y(j) is the j'th example's label.
  %
  m=size(X,2);
  n=size(X,1);

  % theta is a vector;  need to reshape to n x num_classes.
  theta=reshape(theta, n, []);
  num_classes=size(theta,2)+1;
  theta = [theta,zeros(n,1)];
  
  % initialize objective value and gradient.
  f = 0;
  g = zeros(size(theta));

  %
  % TODO:  Compute the softmax objective function and gradient using vectorized code.
  %        Store the objective function value in 'f', and the gradient in 'g'.
  %        Before returning g, make sure you form it back into a vector with g=g(:);
  %
%%% YOUR CODE HERE %%%

yCompare = full(sparse(y, 1:m, 1));  %??y == k ???
%yCompare = yCompare(1:num_classes-1,:); % ??y = 10???
M = exp(theta'*X);
p = bsxfun(@rdivide, M, sum(M));
f = - yCompare(:)' * log(p(:));


g = - X*(yCompare - p)';
g = g(:,1:num_classes - 1);

  g=g(:); % make gradient a vector for minFunc

如何解释是个比较麻烦的问题，我推出的方法还是通过矩阵的size。

首先cost function有两个连加号，这意味着如果每一个计算得出一个值，cost function可以得到一个kxm的矩阵，而yCompare就是kxm，因此后面的概率项也应该如此。theta‘*X是很容易想到的，得到kxm，而对于概率项的分母，我们得这样理解：kxm每一个列就是某一个样本对应于每一个类的数据，我们因此对于分母项的求法很简单，就是用sum把每一列的数据加起来。

其他的推导是一样的道理。

运行结果为：

Average error :0.000005  （Gradient Checking 结果显示梯度计算没有问题）
Training accuracy: 94.4%
Test accuracy: 92.2%

这里有一些有用的MATLAB函数需要关注一下：

full 和 sparse，举例如下：

>> y = [1 2 3]

y =

     1     2     3

>> sparse(y,1:3,1)

ans =

   (1,1)        1
   (2,2)        1
   (3,3)        1

>> full(sparse(y,1:3,1))

ans =

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

而bsxfun可以用来做矩阵的各种运算，很快！

很多函数如果不清楚一种就是直接在MATLAB help，一种那就是直接百度了。

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