《深入浅出计算机组成原理》学习笔记 Day11

1. 浮点数的二进制转化

以 $9.1_{10}$ 为例。$9_{10}=1001_2$，再把小数位转换为二进制。以 $0.1001_2$ 为例：
$$0.1001_2=1\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+0\times 2^{-3}+1\times 2^{-4}=0.5625_{10}$$
小数部分转换成二进制是乘以 2， 然后看是否超过 1，如果超过 1，我们就记下 1，并把结果减去 1， 进一步循环操作。

0.1 其实就变成一个无限循环的二进制小数，0.000110011。“0011” 会无限循环下去。

$$9.1_{10}=1001.000110011_2={1.001000110011\dots \times 2^3}_2$$
对应符号位 s = 0，有效位 f = 001000110011……。因为 f 最长只有 23 位，所以 “0011” 循环到 23 位就截止了。于是：
$$f=00100011001100110011001$$
最后一个 “0011” 循环中的最后一个 “1” 会被截掉。对应指数位 e = 3。因为指数位有正又有负，所以指数位在 127 之前代表负数，之后代表正数，那 3 其实对应的是加上 127 的偏移量 130，转化成二进制，就是 130，对应的就是指数位的二进制，表示出来就是 10000010。

把 “s + e + f” 拼在一起，浮点数 9.1 的二进制就表示为：
010000010 0010 0011001100110011 001

如果我们再把这个浮点数表示换算成十进制， 实际准确值是 9.09999942779541015625（这和 f 位丢失有关）。

2. 浮点数的加法和精度损失

浮点数的加法计算原理是：先对齐、再计算。

两个浮点数的指数位可能是不一样的，所以我们要把两个的指数位，变成一样的，然后只去计算有效位的加法就好了。

以 0.5 + 0.125 的浮点数运算为例。首先要把两个的指数位对齐，也就是把指数位都统一成两个其中较大的 -1。对应的有效位 1.00…也要对应右移两位，因为 f 前面有一个默认的 1，所以就会变成 0.01。然后我们计算两者相加的有效位 1.f，就变成了有效位 1.01，而指数位是 -1，这样就得到了我们想要的加法后的结果。

浮点数加法过程中，其中指数位较小的数，需要在有效位进行右移，在右移的过程中，最右侧的有效位就被丢弃掉了。这会导致对应的指数位较小的数，在加法发生之前，就丢失精度。两个相加数的指数位差的越大，位移的位数越大，可能丢失的精度也就越大（大数吃小数）。

32 位浮点数的有效位长度一共只有 23 位，如果两个数的指数位差出 23 位，较小的数右移 24 位之后，所有的有效位就都丢失了。这也就意味着，虽然浮点数可以表示上到 3.40×1038，下到 1.17×10−38 这样的数值范围。但是在实际计算的时候，只要两个数，差出 224，也就是差不多 1600 万倍，那这两个数相加之后，结果完全不会变化。

参考

极客时间《深入浅出计算机组成原理》：http://gk.link/a/11UMi