第一讲 综合评价分析—层次分析法（AHP）
写在前面：本文仅用于记录清风数模课程的笔记总结
AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因
素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重
要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大
地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把
复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次
结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体
现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避
决策者主观判断的缺点。
在解决评价类问题时，应想到以下三个问题：
- 评价的目标是什么？
- 为了达到这个目标有几种可选的方案？
- 评价的准则（指标）是什么？
层次分析法的步骤：
step1.分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构 （对上述三个问题的回答）
ps.在论文中若用到层次分析法时一定要引入层次结构图，重要！
层次结构图的制作：
1.使用SmartArt生成（PPT自带，较麻烦，不推荐）
选中C1,C2,C3,C4,C5
PPT，开始，提高列表等级
选中O,C1,C2,C3,C4,C5
鼠标右键，点击“转换为SmartArt”，选择层次结构图
同理，将P1,P2,P3转化为层次结构图插入，形状，选择线段将其连接
2.使用亿图图示生成（推荐）
（1）新建组织结构图——自定义组织结构图
（2）1个长方形方格，并复制出8个和它同大小的长方形
（3）将这9个长方形排成3行（1+5+3）
（4）使用对齐和分布这两个功能让它们排列的有序
（5）选择文本工具，在这些长方形里面输入文字
（6）使用箭头连接线工具中的直线连接上这些长方形
（7）保存后选择文件——导出&发送——Word
（8）将Word中的图像复制到你的论文中即可，别忘了加上标题
step2.对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵O-C，C-P)
在构造准则层-方案层的判断矩阵时数值应结合实际（利用搜索引擎获取一定数据）填写，或利用题中所给数据（如果给了的话）
step3.由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）。
注意：计算权重时三种方法都要使用，但最后应保留特征值法。
话术：为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。
一致性检验:
以旅游决策为例；
第一步：计算一致性指标CI
第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| RI | 0 | 0 | 0.52 | 0.89 | 1.12 | 1.26 | 1.36 | 1.41 | 1.46 | 1.49 | 1.52 | 1.54 | 1.56 | 1.58 | 1.59 |
注：在实际运用中，n很少超过10，如果指标的个数大于10，则可考虑建立二级指标体系，或使用模糊综合评价模型。
第三步：计算一致性比例CR
如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正（往一致矩阵上调整，一致矩阵各行成倍数关系）。
计算权重：
一致矩阵计算权重 （注意：计算时需进行归一化处理）
一致矩阵：各行各列成比例，每一列的计算结果相同
判断矩阵计算权重（判断矩阵：各行各列不成比例，所以每一列的计算结果不同）
| 景色 | 苏杭 | 北戴河 | 桂林 |
| 苏杭 | 1 | 2 | 5 |
| 北戴河 | 1/2 | 1 | 2 |
| 桂林 | 1/5 | 1/2 | 1 |
将每一列的权重计算出来，算出来n组权重，
方法一：算术平均法
第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
| 景色 | 苏杭 | 北戴河 | 桂林 |
| 苏杭 | 1/（1+1/2+1/5）=0.5882（剩下同理） | 0.5714 | 0.625 |
| 北戴河 | 0.2941 | 0.2857 | 0.25 |
| 桂林 | 0.1177 | 0.1429 | 0.125 |
第二步：将归一化的各列相加（按行求和）
| 未归一化的权重 | |
| 苏杭 | 0.5882+0.5714+0.625=1.7846 |
| 北戴河 | 0.2941+0.2857+0.25=0.8298 |
| 桂林 | 0.1177+0.1429+0.125=0.3856 |
第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
| 权重 | |
| 苏杭 | 1.7846/3=0.5949 |
| 北戴河 | 0.8298/3=0.2766 |
| 桂林 | 0.3856/3=0.1285 |
数学符号表述：
第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
第二步：将归一化的各列相加（按行求和）
第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
假设判断矩阵A = 
,
那么算术平均法求得的权重向量
方法二：几何平均法求权重
第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
第二步：将新的向量的每个分量开n次方
第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
假设判断矩阵A = ,
那么几何平均法求得的权重向量（注意：权重和应为1，四舍五入会有可以忽略的误差）
方法三：特征值法求权重
一致矩阵有一个特征值为n,其余特征值均为0.
当特征值为n时，对应的特征向量为
这一特征向量刚好是一致矩阵的第一列。
假如判断矩阵的一致性可以接受，则可仿照一致矩阵权重的求法：
第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到权重
| 景色 | 苏杭 | 北戴河 | 桂林 |
| 苏杭 | 1 | 2 | 5 |
| 北戴河 | 1/2 | 1 | 2 |
| 桂林 | 1/5 | 1/2 | 1 |
最大特征值为3.0055，
一致性比例CR=0.0053，（<0.1，一致性可以接受）
对应的特征向量：[-0.8902,-0.4132,-0.1918]
对其归一化：[0.5954,0.2764,0.1283]
将计算结果填入权重表
| 算术平均法 | 几何平均法 | 特征值法（一般都保留这个） | |
| 苏杭 | 0.5949 | 0.5954 | 0.5954 |
| 北戴河 | 0.2766 | 0.2764 | 0.2764 |
| 桂林 | 0.1285 | 0.1283 | 0.1283 |
step4.根据权重矩阵计算得分，并进行排序，得出结果。
| 指标权重 | 苏杭 | 北戴河 | 桂林 | |
| 景色 | 0.2636 | 0.5954 | 0.2764 | 0.1283 |
| 花费 | 0.4758 | 计算方法同上0.0819 | ||
| 居住 | 0.0538 | 0.4286 | ||
| 饮食 | 0.0981 | 0.6337 | ||
| 交通 | 0.1087 | 0.1667 |
则苏杭得分：0.5954×0.2636+0.4758×0.0819+0.4286×0.0538+0.6337×0.0981+0.1667×0.1087=0.299
同理，北戴河得分0.245；桂林得分0.455
因此最佳的旅游景点是桂林
注意：利用Excel处理数据时，需锁定单元格（选中，按F4）
层次分析法的一些局限性
（1）评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大。（平均随机一致性指标RI的表格中n最多是15。）
（2）如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得评价的更加准确呢？
如上图，若要评选三好学生，且各种数据已知，则不能使用层次分析法得出结果（不客观） 。
模型拓展：
1.从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示。除目标层外，每个元素至少受上一层一个元素支配。除最后一层外，每个元素至少支配下一层次一个元素，上下元素的联系比同一层次强，以避免同一层次中不相邻元素存在支配关系；
2.整个结构中，层次数不受限制；
3.最高层只有一个元素，每一个元素所支配的元素一般不超过9个，元素过多时可进一步分组。
即：层次结构图出现多个准则层，或每个准则层对应单独的方案层，此时将其他变量的权重视为0即可，例如：
感谢观看！