本周二年级数学组共读研讨了《小学数学思想方法》中的“数形结合思想”和“几何变换思想”。
学生通过义务教育阶段的数学学习,能获得数学的基本思想,是新课标的“四基”目标之一。数学思想是对数学知识的本质认知、理性认识,蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中。
数形结合的数学思想将抽象数学语言与直观图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合,通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在图形与几何这一内容中,当题目给出的条件显得不够或者不明显、看似“山重水复疑无路”时,可将图形作一定的几何变换,如此有利于发现问题的隐含条件,抓住问题的关键和实质,不经意间会“柳暗花明又一村”使问题得以突破,找到解决问题的方案。图形的几何变换是一种重要的思想方法,它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想,领会这种解题的思想实质,并准确合理地使用,在解题中往往会收到奇效,同时将有效地提高思维品质。
数形结合思想
一、对数形结合思想的认识
数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形主要是指几何图形和函数图像等。
数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难得数学问题简洁化，使原本需要通过抽象思维解决得问题，通过形象思维就可以解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。 众所周知,小学生的逻辑思维能力还比较弱,在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题;教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现,借助数形结合思想中的图形直观手段,可以提供非常好的教学方法和解决方案。
二、数形结合思想的应用
数形结合思想在数学中的应用大致分为两种类型：
一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以形解数”；
二是借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系，可称之为“以形助数”。
数形结合思想在小学数学的四大领域知识的学习中的应用主要体现在以下几个方面：
一是利用“形”作为各种直观工具帮助孩子理解和掌握知识，解决问题，如从低年级借助直线认识数的顺序，到高年级的画线段图帮助学生理解实际问题的数量关系。
二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透,如数轴、位置、正反比例关系图象等,使学生体会代数与几何之间的联系。
三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的体现,统计图表把抽象的枯燥的数据直观地表示出来,便于分析和决策。
四是用代数(算术)方法解决几何问题。如角度、周长、面积和体积等的计算,通过计算三角形内角的度数,可以知道它是什么样的三角形等等。
三、数形结合思想的教学
“数”和“形”是数学的两个基本概念,数学是围绕这两个概念的提炼、演变而发展的。教学中,挖掘教材,提炼数形结合思想,恰当运用数形结合思想教新知,引导学生自主运用数形结合思想来解决问题,是实现小学数学有效教学的必经之路。
一、挖掘教材，提炼数形结合思想
教师要注意体会教材编写的意图，知识的展示中蕴含了哪些方法和规律，体现了哪种数学思想，都要仔细揣摩，认真揣摩。
二、引导学生运用数形结合思想方法活用知识
1、以形理解数学概念
2、以形直观的理解问题中的数量关系
3、数与形相互激活
在平时教学中,面对问题信息,教师可训练学生习惯用联系的观点把数形结合起来。如:看到3厘米就想到3厘米长的线段;看到3×4,就想到一个长为4厘米,宽为3厘米的长方形的面积;看到“3、3、1”、“3、3、5”、“3、3、3”、“3、4、5”就想到把这三个数分别作为边长,能组成的是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或是等腰三角形(等边三角形)等情况。同理,看到“形”,要联想到相关的“数”。这有利于培养学生在无意识中将数与形自动结合的能力,为数形结合思想的形成。
4、实物操作,感知数形结合思想
实物能为数形结合提供原型。在教学中,教师可以利用实物进行强化训练让学生在数学活动中感知数形结合思想,如圈一圈、画一画、剪一剪、折一折等。「人教版小学数学五年级上册第五单元的“用字母表示数”这节课,为更好让学生感悟用字母表示数量关系,在教学这节课时,我首先让学生准备一盒250毫升的牛奶,让学生喝一口,问学生:“喝的是多少毫升?”学生说不知道。我说:“不知道的数可以用x来表示。”再问:“盒子里还剩下多少?”学生很快地理解这时盒子里还剩下250-x。再问:“如果喝同样数量的三口,盒子里还剩下多少?”学生通过实物这个形的感知,明白了式子“250-3x”的含义。
三、鼓励学生在解决问题中自主运用数形结合思想方法
教师通过挖掘教材,提炼数形结合思想,导引学生感悟运用数形结合思想方法,久而久之,学生会逐步感悟数形结合思想方法的意义,初步学会用数形结合思想方法解决数学问题。学生在解题中遇到新问题时,总想用熟悉的题型去“套”,只是满足于把题目解出来,忽视在反思中提炼数学思想方法。此时要注意引导学生脱离教师这个拐棍,激励学生自主运用数形结合思想方法大胆思考。
几何变换思想
一、几何变换思想的认识
变换是数学中一个带有普遍性的概念,代数中有数与式的恒等变换、几何中有图形的变换。在初等几何中,图形变换是一种重要的思想方法,它以运动变化的观点来处理孤立静止的几何问题,往往在解决问题的过程中能够收到意想不到的效果。初等几何变换是关于平面图形在同一个平面内的变换,在中小学教材中出现的相似变换、合同变换等都属于初等几何变换。合同变换实际上就是相似比为1的相似变换,是特殊的相似变换。合同变换也叫保距变换,分为平移、旋转和反射(轴对称)变换等。
二、几何变换思想的应用
图形变换作为图形与几何领域的重要内容之一,在图形的性质的认识、面积公式的推导、面积的计算、图形的设计和欣赏、几何的推理证明等方面都有重要的应用。
三、几何变换思想的教学
1.对一些概念的准确把握
2.注意图形变换与其他几何知识的联系
3.对教学要求和解题方法的准确把握
图形的几何变换是一种重要的思想方法,它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想,领会这种解题的思想实质,并准确合理地使用,在解题中往往会收到奇效,同时将有效地提高思维品质。
数学思想是数学的灵魂。尽管我们的学生,将来参加工作不可能都从事数学专业,但数学思想这个灵魂,将引导每名学生的工作和学习,乃至影响其一生。数学教学蕴含了数学思想这个灵魂,数学课堂就能体现数学蕴含的美,学生的数学学习就能充满活力,学生的数学头脑就能真正建构,我们的教学就会更上一层楼。