矩阵、虚数与坐标变换

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关键字：矩阵、虚数、坐标变换

一个矩阵可以表示的坐标变换类型包括 ：旋转 、 缩放 、 平移
一个虚数也可以表示：旋转和缩放
这样矩阵和虚数具有相同的功能：都可以进行坐标的旋转的缩放。

矩阵

我们来考虑矩阵

可以将矩阵M和N的列理解为新坐标系的坐标基。则
M表示对标准笛卡尔坐标系不进行任何变换。
N表示对标准笛卡尔坐标系逆时针旋转90度

a*M,表示 x，y方向同时进行放大a倍

b*N,表示 绕原点旋转90度然后再缩放b倍

K表示 绕原点旋转 θ度 ，其中 = b/a
再缩放 倍

所以如果只需要旋转θ度 ，可以利用三角函数，构造如下矩阵S

因为缩放倍数 = 1

扩展：
神奇的欧拉公式：
e^(θi) = cos(θ) + sin(θ) * i
表示旋转θ角

虚数

考虑坐标系中的单位圆
如果虚数为i，则有
1 * i = i
i * i = -1
i* (-1) = -i
(-i) * i= 1
即乘以i的意义相当于,绕坐标原点逆时针旋转90度
也就是i与如下矩阵N具有相同的意义

对于一个虚数bi ，就是沿着虚轴缩放b倍,等效于如下矩阵表示