a+b

不使用加法计算a+b的值

首先考虑十进制加法中，如8+15：

1、不考虑进位：各位相加：个位得8+5=13，个位为3；十位得0+1=1；结果为13

2、考虑进位：个位进位为10

3、1和2中的结果相加得13+10=23

按照上述思想考试二进制加法中：如1000+1111

1、不考虑进位：各位相加：1+1=0,1+0=1,0+1=1,0+0=0，与位运算中的亦或操作相同 a^b

2、考虑进位：显然只有1+1会出现进位，相对于这位的进位为10，即把与运算的结果往左移一位 (a&b)<<1

3、1和2中的结果相加直到不产生进位

以上分析来自lintCode

根据以上分析，我们可以得出一个结论：a+b = f(a+b) + m(a+b)
其中f(a+b)表示无进位的a+b,比如上面的13，m(a+b)表示进位结果，比如上面的10

在位运算中，异或运算通常也叫做无进位的加法，与运算刚好可以用来计算进位结果（因为只有 1&1 == 1，只有 1 + 1 会进位），所以我们又可以得出以下公式：a+b = a^b + (a&b)<<1，由于不能用加法，这个公式我们可以很容易的用递归实现：

int sum(int a, int b)
{
    if (b == 0) {
        return a;
    }
    int c = a^b;
    int d = (a&b)<<1;
    return sum(c, d);
}

非递归版本
前有公式：a+b = a^b + (a&b)<<1，其中 a 对应于 a^b ，b 对应于 (a&b)<<1，因为 ^ 在这里是加法，所以 a 代表无进位加法结果，b 代表进位信息，当没有进位信息时（b==0），计算结束，据此，我们可以写出如下非递归代码：

int sum(int a,int b)
{
    /**
     先计算进位结果 c
     然后计算无进位结果 a
     如果有进位，设置给b，进入下一次计算
     */
    while (b != 0) {
        int c = (a&b)<<1;
        a = a^b;
        b = c;
    }
    return a;
}

PS：对于递归运算，千万不要试图用大脑来计算每一次递归的结果！！！