7.5 基于奇异值的范数

樊畿k-范数

  把矩阵的奇异值从大到小排列，前k个奇异值的和就是Ky Fan k-norm。Ky Fan是樊畿的英文名。用公式定义如下：
$$\parallel A{\parallel }_{(k)}=\sum _{i=1}^k{\sigma }_i^{\downarrow }$$
  当$k=1$时就是矩阵的2-范数，当$k=n$时等于沙滕1-范数。因为定义简单，所以python代码也简单：

    # 樊畿范数
    def ky_fan_norm(self, k):
        values = self.sigular_values()
        values = sorted(values)
        result = 0
        n = len(values)
        for i in range(n - 1, n - k - 1, -1):
            result += values[i]
        return result

沙滕p-范数

  沙滕p-范数Schatten p-norm，又叫沙滕范数。它是基于奇异值定义的范数。其定义如下：
$$\parallel A{\parallel }_{Sp}=(\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^p{)}^{\frac{1}{p}}$$
  注意：沙滕-p范数不是矩阵的p-范数。举个例子，矩阵的2-范数是最大奇异值，但是沙滕2-范数却是矩阵的Frobenius范数。根据定义，计算沙滕p-范数的代码如下：

    # 沙滕范数
    def schatten_norm(self, p):
        values = self.sigular_values()
        result = 0
        for value in values:
            result += value ** p
        return result ** (1 / p)

核范数

  核范数nuclear norm又叫迹范数* trace norm*，就是沙滕1-范数，也是樊畿-n范数。