Detrended fluctuation analysis for fractals and multifractals in higher dimensions

摘要：一维去趋势波动分析和多重分形去趋势波动分析，由于其精确度高和易于实现等优点，在分形和多重分形时间序列的标度分析上得到了广泛的应用。本文将一维DFA和MFDFA推广到高维版本 。当用合成曲面（包括分数布朗曲面和多重分形曲面）进行测试时，泛化效果很好。采用二维MFDFA对两幅自然图像和实验图像进行了分析，揭示了良好的尺度规律。

1.简介

       分形和多重分形在自然科学和社会科学中普遍存在。可观测量最常见的形式是时间序列，其分形和多重分形性质得到了广泛的研究。为此，人们提出了许多方法，举如，光谱分析、重标度距离分析（R/S分析）、波动分析、去趋势波动分析（DFA）、小波变换模块最大值（WTMM）和去趋势移动均值。

       DFA起初是为了探究编码和非编码DNA核苷酸序列的长程相关性。然后将其推广到研究隐藏在时间序列中的多重分形性质，称为多重分形DFA。由于实现简单，DFA逐渐成为该领域最重要的方法。

       虽然WTMM方法看起来有些复杂，但它无疑是一种非常强大的方法，尤其是对高维对象，如图像、三维湍流标量场和矢量场。相反最初的DFA方法并不是为此目的而设计的。最近的一遍论文中，首次将DFA应用于纹理图像的粗糙度特征研究。特别地，应用DFA提取不同图像方向的一维序列Hurst指数，并估计其平均标度指数。不幸的是这是个一维的方法。

       在本文中，将DFA和MFDMA从一维推广到高维。用已知分形和多重分形性质的合成曲面（分数布朗曲面和多重分形曲面）对生成方法进行了测试，其数值结果与理论性质十分吻合。我们将这些方法应用到实例中。我们认为广义DFA在许多物体上有着巨大的潜在应用，如断层表面的粗糙度、景观粗糙度，云层粗糙度，三维温度场和浓度场以及湍流矢量场粗糙度。

       这篇论文结构如下，在第二节中，我们给出了二维去趋势波动分析和二维多重分形去趋势波动分析。第三节给出了数值模拟的结果，并与理论性质进行了比较。第四节说明了实例的应用。在第五节中讨论和总结。

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2.方法

A.二维DFA

step1.分割

step2.求累积和

step3.拟合，求残差，得到波动函数

step4.求去趋势函数

step5.不同尺度循环1-4步骤，求赫斯特指数等参数

B.二维MFDFA

step1.分割

step2.求累积和

step3.拟合，求残差，得到波动函数

step4.q阶矩下去趋势波动函数

step5.不同尺度循环1-4步骤，求赫斯特指数等参数

C.关于推广的几点事项

在一维中，DFA和MFDFA先求累积和再分割，无论是先累积求和还是先分区，给定段中的残差矩阵都是相同的。但二维中，必须要先求和再分割。否则后悔给出错误的。

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3.数值模拟

A.合成的分数维布朗曲面

测试二维DFA,构建分数维曲面的方法有，Fourier滤波器、中点位移及其变形、循环嵌入协方差矩阵、周期嵌入和快速傅里叶变换、自上而下分层模型等。本文利用INRIA开发的Matlab软件FRACLAB 2.03来合成具有赫斯特指数的分数布朗曲面。

B.合成的二维多重分形

4.图像分析实例

A.数据

这两幅图像分别为火星 风蚀土脊 图片，大小为2048*1536，聚酯胺样本扫描电镜图片，大小为1200*800

B.分析火星景观图像

图中曲线是最佳的线性拟合，Fq(s)和s之间明显的幂率缩放，意味着 图片是自相似的。

相对q是线性的，内嵌图中h(q)几乎独立于q,这表明火星景观不具有多重分形性质。

C.发泡表面图像分析

相对q是非线性的， 内嵌图中h(q)依赖q，该平面具有多重分形性质   

D.灵敏度与特殊性

从DFA或R/S分析中估计出的Hurst指数大于0.5只是长记忆存在的必要条件，但还不够。这一问题可以从敏感性和特殊性的角度加以讨论。如果方法能够任何时刻正确地识别出存在的属性，则该方法是敏感的，而如果该方法很可能在方法不存在时拒绝该属性的存在，则该方法是特定的。我们并不排除我们分析真实世界图像的尺度行为是由其他过程产生的，在这个意义上，我们在解释结果时应该谨慎。更严格地说，我们可以说这两幅图像具有经验性有效的自相似性或经验上有效的多重分形性质。为了检验DFA和MFDFA的特异性，应将数值模拟扩展到违反DFA或MFDFA假设的过程，并考察每个过程的显着性水平。当然不可能涵盖所有类别的可供选择的图像，以检验其特异性。唯一现实的方法是采用自相似或多重分形作为无效假设，并对另一个过程进行统计检验。不幸的是，我们并没有在文献中为火星景观和泡沫过程提出的既定的替代过程。这个测试应该在有替代假设的情况下进行。

这一部分，我也没有弄清。

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5.讨论和总结

总之，我们把一维去趋势波动分析和多重分形去趋势波动分析推广到二维版本.进一步推广到更高的维度是很简单的。我们发现高维DFA方法应该在高维多重分形对象分割后进行累积求和。事实上，小波变换方法已经应用于高维量。我们认为，这种对高维的扩展并不局限于DFA和WTMM方法，还可以为R/S分析、波动分析等其他方法设计，并将R/S分析推广到二维。与二维DFA相比，其灵敏度更低。此外，标准波动分析类似于DFA，但没有去趋势步骤，扩展到更高的维数是简单明了的。然而，详细的讨论超出了当前工作的范围。

最后，我们要强调，广义DFA在分形和多重分形分析中有着巨大的潜在应用。在二维情况下，该方法可用于研究具有自相似性质的断口、景观、云层等许多图像的粗糙度。在三维情况下，它可以用来证明温度场和浓度场的多重分形性质。高维可能的例子是非线性动力学中的奇异吸引子。具体应用将在今后的专题介绍中报告。