省选数论总结

前言

此篇仅供个人学习总结使用

常见符号及其意义

1. $a\mid b$表示$a$是$b$的约数
2. $\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$，表示$a$除以$b$下取整
3. $\prod _{i=1}^a{p}_i$表示$p_1,p_2,...p_n$的乘积
4. $\sum _{i=1}^n{a}_i$表示$a_1,a_2,..a_n$的和
5. $a\equiv b(\mathrm{mod}p)$表示$a$与$b$模$p$的结果是相同的
6. $\sum _{d\mid n}$表示枚举$n$的所有因子$d$
7. $f\times g(x)$表示$f$函数与$g$函数的狄利克雷卷积
8. ${\int }_a^{b}f(x)dx$表示定积分
9. $f(x)=[x=1]$表示$f(x)$只有在$x=1$的时候才为$1$，其他情况为$0$

数论函数

数论函数是定义域为正整数的函数，又叫做算数函数

积性函数

1. 定义

对于一个数论函数$f(n)$，如果$a$,$b$互质，$f(ab)=f(a)f(b)$，那么$f(n)$为积性函数.特殊的,如果对于任意的$a,b$都有$f(ab)=f(a)f(b)$，那么$f(n)$为完全积性函数

2.常见的积性函数

1. 欧拉函数$\varphi (n)$
2. 莫比乌斯函数$\mu (n)$
3. 幂函数(完全积性)$f_k(n)=n^k$
4. 除数函数${\sigma }_{x}n=\sum _{d\mid n}{d}^x$，即所有因子的$x$次幂之和.特殊的，当$x=0$的时候表示约数的个数，当$x=1$的时候表示约数之和
5. 单位函数(完全积性)$id(n)=n$
6. 元函数(完全积性)$e(n)=[n=1]$
7. 恒等函数(完全积性)$I(n)=1$

3.利用线性筛预处理普通的积性函数

积性函数一般可以利用线性筛预处理，如莫比乌斯函数、欧拉函数等.
积性函数满足$f(n)={\prod }_{p_i}f(p_i^{k_i})$，线性筛的时候一般分为两种情况:

1. 新增加了一种质因子，直接用定义即可
2. 最小质因子的幂次增加1,根据具体题目具体分析

   假设$f$函数为积性函数$f(n)={\sum }_{d\mid n}d$$(f$为因子之和函数$)$,线性筛的时候有两种情况
   1.当$i$不是$p$的倍数,则$f(i\times p)=f(i)\times f(p)$
   2.$i$是$p$的倍数，则考虑$f(i\times p)$比$f(i)$多了什么，实际上是某个$f(p_i^{k_i})$变成了 $f(p_i^{k_i+1})$,在这里可以先除以$f(p_i^{k_i})$,再乘$f(p_i^{k_i+1})$.

欧拉函数

1. $\varphi (1)=1$
2. $\varphi (p)=p-1$ $(p$为素数$)$
3. $\varphi (p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)\times p^{k-1}$ $(p$为素数$)$
4. 若$m,n$互质，则有$\varphi (n\ast m)=\varphi (n)\ast \varphi (m)$
5. 对于任意 $n=p_1^{k_1}\ast p_2^{k_2}\ast ...\ast p_r^{k_r}$ （其中 $p_1,p_2,...,p_k$ 为 $n$ 的互不相同的质因子） 则有
   $\phi (n)={\prod }_{i=1}^r\phi (p_i^{k_i})={\prod }_{i=1}^r(p_i-1)p_i^{k_i-1}={\prod }_{i=1}^r(1-\frac{1}{p_i})\ast p_i^{k_i}=n\ast {\prod }_{i=1}^r(1-\frac{1}{p_i})$
6. 当$n>1$时，小于$n$的数中，与$n$互质的数的总和为$\frac{\varphi (n)\ast n}{2}$
   由此推导可得$\sum _{i=1}^{n}i\cdot [gcd(i,n)==1]=n\cdot \frac{\varphi (n)+[n==1]}{2}$
7. $\sum _{d\mid n}\varphi (d)=n$
8. 若$n,a$为正整数且$n,a$互质，则
   $a^{\varphi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$,
   $a^{\varphi (n)-1}\equiv a^{-1}(\mathrm{mod}n)$
   当$n>1,a,n$互质,$a^b\mathrm{mod}n=a^{b\mathrm{mod}\varphi (n)}\mathrm{mod}n$

莫比乌斯函数

1.定义

莫比乌斯函数$\mu (m)$
定义$\mu (1)=1$
当$x=p_1{p}_2..p_n$,且$p_i$为不同的质数(即$x$由若干幂次为$1$的质数相乘),$\mu (x)=(-1{)}^n$，其他情况$\mu (x)=0$

2.性质

1.${\sum }_{d\mid n}\mu (d)=[n==1]$
2.莫比乌斯函数为积性函数

3.莫比乌斯函数的代码实现

利用积性性质线性筛$O(n)$处理

const int N=1e5+10;
int mu[N],p[N],pn=0;//mu,质数,质数个数
bool flag[N];//标记质数 
void getmu(){
	mu[1]=1;pn=0;
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!flag[i]) mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=pn&&(ll)i*(ll)p[j]<N;j++){
			flag[i*p[j]]=1;
			if(!(i%p[j])){mu[i*p[j]]=0;break;}
			else mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
} 

4.莫比乌斯函数与欧拉函数

应用卷积得:
$$\varphi (n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)f(\frac{n}{d})=\sum _{d\mid n}\mu (d)\frac{n}{d}$$

莫比乌斯反演

1.公式

若$$f(n)=\sum _{d\mid n}g(d)=\sum _{d\mid n}g(\frac{n}{d})$$
则$$g(n)=\sum _{d\mid n}f(d)\mu (\frac{n}{d})=\sum _{d\mid n}f(\frac{n}{d})\mu (d)$$
以上二式互为充分必要条件

另一种形式:
$$f(n)=\sum _{n\mid d}g(d)$$
$$g(n)=\sum _{n\mid d}f(d)\mu (\frac{d}{n})$$

狄利克雷卷积

1.定义

定义两个数论函数的狄利克雷卷积为:
$$(f\times g)(n)=\sum _{d\mid n}f(d)\times g(\frac{n}{d})$$
也可以写成
$$(f\times g)(n)=\sum _{ab=n}f(a)\times g(b)$$

2.狄利克雷卷积的性质及其常见应用

1. 交换律:$f\times g=(g\times f)$
2. 结合律:$(f\times g)\times h=f\times (g\times h)$
3. 分配率:$(f+g)\times h=f\times h+g\times h$
4. 如果$f(n),g(n)$都为积性函数，那么他们的狄利克雷卷积也为积性函数
5. 任何数论函数都与元函数的卷积等于函数自己，即$(f\times e)(n)=\sum _{d\mid n}f(d)\times e(\frac{n}{d})=f(n)$
6. $(\mu \times I)(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)\times I(\frac{n}{d})=\sum _{d\mid n}\mu (d)=e(n)$
7. $\varphi \times I(n)=\sum _{d\mid n}\varphi (d)\times I(\frac{n}{d})=\sum _{d\mid n}\varphi (d)=n=id(n)$
8. $\varphi =id\times \mu$$($第七条左右式同乘$\mu$$)$

3.狄利克雷卷积的代码实现

复杂度:$O(nlogn)$

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = 1; i*j <= n; j++) {
		res[i * j] += f[i] * g[j];
	}
}

4.狄雷克雷卷积与其他函数的结合应用

推导莫比乌斯反演

已知一个数论函数$f(n)=\sum _{d\mid n}g(d)$,那么$f=g\times I$ $($ $g$函数与恒等函数$I$函数的卷积 $)$，根据狄利克雷卷积的性质，在两边同乘$\mu$，得到:
$$f\times \mu =g\times I\times \mu =g\times e=g$$
所以
$$g(n)=\sum _{d\mid n}f(d)\mu (\frac{n}{d})$$
可见狄利克雷卷积对原问题进行了更高层次的抽象，使问题变得简单

推导$\mu$和$\varphi$的关系

已知欧拉函数一性质:
$$n=\sum _{d\mid n}\varphi (d)$$
令$f(n)=n,g(n)=\varphi (n)$,反演得:
$$\varphi (n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)f(\frac{n}{d})=\sum _{d\mid n}\mu (d)\frac{n}{d}$$

整除分块

1.概念思想

考虑最简单的情况,对于$\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$
通过一些性质的分析可发现，$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$是由若干段值相等的区间构成的,假设该区间左边界为$L$,右边界为$R$,那么对于区间内的每个值，往往可以用基本相同的式子得到答案，乘上与区间长度有关的系数即可,这样一段取值序列$[1,n]$被分成$\sqrt{n}$块，复杂度$O(\sqrt{n})$
在最简单的整除分块中，对于已知的$L$,对应的$R=\lfloor \frac{N}{\lfloor \frac{N}{L}\rfloor }\rfloor$

2.定理

1. $\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor =2\sum _{i=1}^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }\lfloor \frac{n}{i}\rfloor -(\lfloor \sqrt{n}\rfloor {)}^2$
2. $\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor =\sum _{d=1}^n{\sigma }_0(d)$ $($ ${\sigma }_0(d)$ 表示 $d$ 的因子个数 $)$
3. $\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[i\cdot j\le n]$

3.代码实现

假设求$\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$,这里给出最基本的写法

ll get(ll n){
	ll ans=0;
	for(ll L=1,R;L<=n;L=R+1){
		R=n/(n/L);
		ans=(ans+(ll)(R-L+1)*(ll)(n/L)%M)%M;
	}
	return ans;
}

4.常见卷积

1. $(\mu \times I)(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)=e(n)=[n==1]$
2. $(\varphi \times I)(n)=\sum _{d\mid n}\varphi (d)=n=id(n)$
3. $\varphi =id\times \mu$
4. $(f\times e)(n)=f(n)$

积性函数前缀和

1.概念思想

对于积性函数f(n),求
$$S(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)(1\le n\le 10^{1}0)$$
以上问题可用杜教筛解决

为解决此问题，先尝试计算$g\times f$的前缀和：
$\sum _{i=1}^n(f\times g)(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{d\mid i}g(d)f(\frac{i}{d})=\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{d\mid i}f(\frac{i}{d})=\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }f(i)=\sum _{i=1}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$
得到:
$$g(1)S(n)=\sum _{i=1}^n(f\times g)(i)-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$$

$S(n)$是要求的值，$S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$可以递归解决,关键要找到合适的$g$
用线性筛等预处理出$S(i)$前$n^{\frac{2}{3}}$项，剩余的项采用记忆化搜索(用hash或者map记录值)
假设查询q次前缀和，总复杂度为$O(q+n^{\frac{2}{3}})$,花在查询上的复杂度始终是均摊$O(n^{\frac{2}{3}})$

2.代码实现

这里以求$\mu$的前缀和为例
假设题目$n\le 1e9$
取$I$与$\mu$卷积，得
$$I(1)S(n)=\sum _{i=1}^n(\mu \times I)(i)-\sum _{i=2}^{n}I(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$$
即
$$S(n)=1-\sum _{i=2}^{n}S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$$

const int N=1e6+5;//1e9的2/3次幂为1e6 
const ll M=1e9+7;//题目的模数 
#define un_mp unordered_map
un_mp<ll,ll> q;//unordered_map实现记忆化搜索 
int mu[N],p[N],pn=0;bool flag[N];
void pre(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!flag[i]) p[++pn]=i,mu[i]=(-1+M)%M;;
		for(int j=1;j<=pn&&(ll)i*(ll)p[j]<N;j++){
			flag[i*p[j]]=1;
			if(!(i%p[j])){mu[i*p[j]]=0;break;}
			else mu[i*p[j]]=(M-mu[i])%M;
		}
	}
	for(int i=2;i<N;i++) mu[i]=(mu[i]+mu[i-1])%M;//预处理前若干项前缀和 
}
ll solve(ll n){//剩余的前缀和递归计算 
	if(n<N) return mu[n];//若已预处理，直接return值 
	if(q[n]) return q[n];//若已记忆化，直接return值 
	ll res=1ll;
	for(ll L=2,R;L<=n;L=R+1){//整除分块加速计算 
		R=(n/(n/L));
		res=(res+M-(ll)(R-L+1)%M*solve(n/L)%M)%M;
	}
	return q[n]=res;//记忆化 
}

3.常见的前缀和与g的选取

1. 对于$\sum _{i=1}^n\mu (i)$,选取$I$:$S(n)=1-\sum _{i=2}^{n}S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$
2. 对于$\sum _{i=1}^n\varphi (i)$,选取$I$:$S(n)=n\ast (n+1)/2-\sum _{i=2}^{n}S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$
3. $\varphi =id\times \mu$：变成求$\varphi$的前缀和

常用技巧

1.推导方法

1. 交换枚举的先后顺序
2. 交换约数与倍数
3. 对于$d\mid n$,往往可以转而枚举$d$和$n$对$d$的倍数$\lfloor \frac{n}{d}\rfloor$，此时要注意原有数值所代表的的意义及其表示在操作后的变化，分清系数的关系
4. 替换和式中的标号
5. 用$\mu$替换形似$[g==1]$的式子
6. 对于$[g==d]$的式子，可以将$d$提出，然后有选择地进行步骤5
7. 若式子里有$gcd(i,j)$的形式，可以枚举$gcd(i,j)$的值，即枚举$d$后转化为$[gcd(i,j)==d]$的形式，根据题目有选择地进行步骤6
8. 常见的卷积形式见上文

2.计算优化

1. 对于$\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$,可以整除分块加速计算

3.其他定理

1. $\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$
2. $\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
3. $\sum _{i=1}^n{i}^3=[\frac{n(n+1)}{2}{]}^2$
4. $1+3+5+...+(2n-1)=n^2$

TIPS

1. 整除分块时注意int和long long在效率上的差别
2. $\mu$可能为负，在取模题中注意对其取模
3. 注意不要爆int,不要爆int,不要爆int
4. 对于某些毒瘤题目，酌情使用unsigned long long
5. 注意$\sum _{i=1}^n$与$\sum _{i=1}^{n}i$的区别