SDE：Stochastic Differential Equation 简述

一、ODE vs. SDE

常微分方程(ODE)的基本形式为：

一般来说其解是一条确定的曲线，而随机微分方程(SDE)，其结果是一个随机的过程，最终得到是的多种样本轨道。

那么在ODE方程里加入随机性主要有两种方式：

1、随机化初值()

 这种随机化方法比较简单，只是将初值设定为一个随机化的样本过程，根据的不同可以得出多种样本轨道(Sample Path)。

2、过程加入噪声(Additioned Random Noise)

在随机化初值的基础上，叠加上了噪声，根据噪声分布的不同，得出的样本轨道也不相同。同时，SDE可以同时受到这两部分因素影响，这就需要具体问题具体分析。

二、 SDE

为了更好去定义SDE，我们通常也将SDE的形式写成：

随机过程的噪声来源是多种多样的，如果噪声来源来自于布朗运动(Brown Motion)，我们称这种SDE为 SDE，即：

 

1、存在性和唯一性

要解这个方程要先确定解的存在性问题，SDE的解有不同的界定方法，如强解(Strong Solution)和弱解(Weak Solution)，这里只考虑强解的情况。所以判断强解的存在性要根据以下几点：

1、要适用于，即是的函数()。一旦确定就会确定，结果不依赖于t之后的信息。

2、黎曼积分和伊藤积分都要有确定的定义。

3、X一定是特定样本轨道的函数，这一点是强解和弱解的区别，强解更精确到特定的样本轨道。

 因此，当初始条件满足：

(1) ，

(2)独立于，

在，满足

(1)和都是确定的，

(2)满足利普希思连续条件(Lipschitz Condition)，即存在k满足 

 

 则称Ito SDE存在唯一强解。

 2、一维伊藤公式

这里给出一个应用示例。