曲线曲率介绍和python求法

曲率

对于圆而言，曲率与半径成反比，是半径的倒数，而直线的曲率为 0。
$$K=\frac{1}{r}$$
比如我们想知道曲线 $\mathbf{AB}$ 上任一点处的弯曲程度怎么办呢？这时就需要一个十分重要的概念——曲率。

维基百科：

• 在数学中，曲率（curvature）是描述几何体弯曲程度的量，例如曲面偏离平面的程度，或者曲线偏离直线的程度。在不同的几何学领域中，曲率的具体定义不完全相同。曲率可分为外在曲率和内蕴曲率，二者有重要的区别。前者的定义需要把几何体嵌入到欧式空间中，后者则是直接定义在黎曼流形上。
• 曲线的曲率通常是标量，但也可以定义曲率向量。对于更复杂的对象（例如曲面，或者一般的 n 维空间），曲率要用更复杂的线性代数来描述，例如一般的黎曼曲率张量。

曲率包含的知识点很多，如下所示：

1.1 弧长参数 s

弧长参数又称为自然参数，该参数的引入是意义非凡的。一个最为明显的意义在于，弧长作为参数就是将参数赋予了几何意义，这样在几何意义上，就可以将参数和曲线本身统一起来。

那么现在就有一个问题了，为什么弧长可以作为参数？ 说明这个问题之前我们需要先知道如何求一条曲线的弧长。

设： $C^1$ 类曲线的参数方程为：

注：$C^1$ 类曲线是指光滑曲线。

我们按照上面的方式划分为 $n$ 个小段，之后我们用直线将相邻的两个点连结起来，最后会得到一条折线，这条折线的长度记为：

取 ${\lambda }_n={\max }_{a\le t\le b}\{t_i-t_{i-1}\}$，并使 ${\lim }_{n\to +\infty }{\lambda }_n=0$，此时 ${\sigma }_n$ 趋于一共与分点无关的确定的极限 $\sigma$ ，这个极限我们就定义为曲线 $P_0{P}_n$ 的长度，即：

图解数学

其中，$a$、$b$、$c$ 为三个点构成的三角形的三条边的边长，$S$ 为这个三角形的面积。

将三条边分别用向量 $a$、$b$、$c$ 表示。则三条边的边长就是三个向量取模长。

由与所构成的平行四边形的有向面积，可以用行列式 $det(a,b)$表示（行列式的性质）。因为是有向面积，取绝对值后，得到的 $\left|det(a,b)\right|$ 才是有效面积。

三角形的面积等于这个平行四边形的一半。

假设曲线为 $f$，根据这个公式，就可以算出 $R$，

下面让左右两边的点，向中间靠拢：

设 $\delta$ 趋于 0 时，得到的密切圆半径为 $r$，则 $r$ 为 $R$ 的极限。

这样，就求出了密切圆的半径，而它的倒数，就是我们求的曲率。

Python 中的曲线曲率

曲率是曲线偏离直线的量度。例如，圆的曲率是半径的倒数，而直线的曲率是 0 。

在本教程中，我们将学习如何使用 numpy 模块在 Python 中计算曲线的曲率。我们还将计算其他量，例如速度，加速度等。你可以在下面的图片中找到必要的公式。

我们将使用以下曲线。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

coordinates = np.array([[1, 1], [1.5, 2], [2, 3], [2.5, 3.5], [3, 4], [3.5, 4.25], [4, 4.5]])
plt.plot(coordinates[:, 0], coordinates[:, 1])

输出：

对于与曲线有关的此类问题，我们需要计算给定曲线在每个点的导数。在这种情况下使用 numpy.gradient() 方法，该方法返回 N 维数组的梯度。

在下面的代码中，我们计算所有点的曲线速度。

x_t = np.gradient(coordinates[:, 0])
y_t = np.gradient(coordinates[:, 1])

vel = np.array([[x_t[i], y_t[i]] for i in range(x_t.size)])
print(vel)

输出：

[[0.5   1.   ]
 [0.5   1.   ]
 [0.5   0.75 ]
 [0.5   0.5  ]
 [0.5   0.375]
 [0.5   0.25 ]
 [0.5   0.25 ]]

在计算速度之后，我们继续进行速度。现在，速度就是速度的模数。但是，应该知道，到目前为止，所有事物都是 $t$ 的函数（ $t$ 表示时间间隔）。因此，我们将在每一秒的时间间隔内将速度表示为数值的 numpy 数组。

请参见下面的代码。

speed = np.sqrt(x_t * x_t + y_t * y_t)
print(speed)

输出：

[1.11803399  1.11803399  0.90138782  0.70710678  0.625  0.55901699  0.55901699]

现在，为了计算切线，我们将执行一些变换，以确保速度和速度的大小相同。同样，我们需要能够将矢量值速度函数除以标量速度数组。

tangent = np.array([1/speed] * 2).transpose() * vel
print(tangent)

输出：

[[0.4472136  0.89442719]
 [0.4472136  0.89442719]
 [0.5547002  0.83205029]
 [0.70710678 0.70710678]
 [0.8        0.6       ]
 [0.89442719 0.4472136 ]
 [0.89442719 0.4472136 ]]

同样，我们现在可以隔离切线的分量并计算其梯度以找到法线向量。

现在，我们将在下面的代码中实现提供的曲率公式。

ss_t = np.gradient(speed)
xx_t = np.gradient(x_t)
yy_t = np.gradient(y_t)

curvature_val = np.abs(xx_t * y_t - x_t * yy_t) / (x_t * x_t + y_t * y_t)**1.5

print(curvature_val)

输出：

[0.   0.04472136  0.17067698  0.26516504  0.256   0.17888544   0.    ]

参考资料

[1] 什么是曲率？什么又是挠率？2019.7；
[2] 计算离散点的曲率（附Python, MATLAB代码）2021.3；