为什么要引入齐次坐标，齐次坐标的意义

1.从计算的角度, 统一计算

图像的缩放变换和旋转变换，可以用矩阵乘法的形式来表达变换后的像素位置映射关系。那么，对于平移变换呢？平移变换表示的是位置变化的概念。如下图所示，一个图像矩形从中心点[x1,y1]平移到了中心点[x2,y2]处，整体大小和角度都没有变化。在x方和y方向上分别平移了tx和ty大小。

此时有:

这对于图像中的每一个点都是成立的。写成矩阵的形式就是:

缩放变换和旋转变换的矩阵形式:
缩放变换：

旋转变换：

缩放变换和旋转变换都可以表示成矩阵乘法的形式。实际上，图像的几何变换通常不是单一的，也就是说经常性的缩放、旋转、平移一起变换。例如先放大2倍，然后旋转45度，然后再缩小0.5倍。那么就可以表示成矩阵乘法串接的形式：

这样，不管有多少次变换，都可以用矩阵乘法来实现。但是平移变换呢？从前面看到，平移变换并不是矩阵乘法的形式，而是矩阵加法的形式！
那能不能把缩放变换、旋转变换、平移变换统一成矩阵乘法的形式呢，这样不管进行多少次变换，都可以表示成矩阵连乘的形式，将极大的方便计算和降低运算量
这种方法就是“升维”，引入“齐次坐标”，将图像从平面2D坐标变成3D坐标。我们看看平移变换的矩阵形式：

将其升维，变成3维，上式就可以表示成：

这样，平移变换通过升维后的齐次坐标，也变成了矩阵乘法的形式。当然缩放变换和旋转变换的矩阵形式也得改一改，统一变成3维的形式。

缩放变换：

旋转变换：

终于统一了。以后所有的变换，不管怎样变换，变换多少次，都可以表示成一连串的矩阵相乘了，这是多么的方便

这就是引入齐次坐标的作用，把各种变换都统一了起来，即 把缩放，旋转，平移等变换都统一起来，都表示成一连串的矩阵相乘的形式。保证了形式上的线性一致性

2.从表示的角度, 解决了欧式空间中,无穷远点无法表示的问题

问题：两条平行线可以相交于一点

在欧氏几何空间，同一平面的两条平行线不能相交，这是我们都熟悉的一种场景。
然而，在透视空间里面，两条平行线可以相交，例如：火车轨道随着我们的视线越来越窄，最后两条平行线在无穷远处交于一点

欧氏空间（或者笛卡尔空间）描述2D/3D几何非常适合，但是这种方法却不适合处理透视空间的问题（实际上，欧氏几何是透视几何的一个子集合），2维笛卡尔坐标可以表示为（x,y)

如果一个点在无穷远处，这个点的坐标将会(∞,∞)，在欧氏空间，这变得没有意义。
平行线在透视空间的无穷远处交于一点，但是在欧氏空间却不能，数学家发现了一种方式来解决这个问题

方法：齐次坐标

简而言之，齐次坐标就是用N+1维来代表N维坐标
我们可以在一个2D笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量w来形成2D齐次坐标，因此，

一个点(X,Y)在齐次坐标里面变成了（x,y,w），并且有
X = x/w 
Y = y/w

例如，笛卡尔坐标系下（1，2）的齐次坐标可以表示为（1，2，1），如果点（1，2）移动到无限远处，在笛卡尔坐标下它变为(∞,∞)，然后它的齐次坐标表示为（1，2，0），因为(1/0, 2/0) = (∞,∞)，我们可以不用”∞"来表示一个无穷远处的点了

为什么叫齐次坐标？

我们把齐次坐标转化为笛卡尔坐标的方法是前面n-1个坐标分量分别除以最后一个分量即可

转化齐次坐标到笛卡尔坐标的过程中，我们有一个发现，例如

你会发现(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)对应同一个Euclidean point (1/3, 2/3)，任何标量的乘积，例如(1a, 2a, 3a) 对应 笛卡尔空间里面的(1/3, 2/3) 。因此，这些点是“齐次的”，因为他们代表了笛卡尔坐标系里面的同一个点。换句话说，齐次坐标有规模不变性.

证明：两条直线可以相交

考虑如下方程组：

我们知道在笛卡尔坐标系里面，该方程组无解，因为C ≠ D,如果C=D,两条直线就相同了。 让我们在透视空间里面，用齐次坐标x/w, y/w代替x ,y

现在我们有一个解(x, y, 0)，两条直线相交于(x, y, 0)，这个点在无穷远处

齐次坐标的意义：
使用齐次坐标，可以表示 平行线在透视空间的无穷远处交于一点。在欧氏空间，这变得没有意义，所以欧式坐标不能表示。

即：齐次坐标可以表示无穷远处的点。例如：
如果点（1，2）移动到无限远处，在笛卡尔坐标下它变为(∞,∞)，然后它的齐次坐标表示为（1，2，0），因为(1/0, 2/0) =(∞,∞)，我们可以不用”∞"来表示一个无穷远处的点了

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参考:
[1]https://blog.csdn.net/zhuiqiuzhuoyue583/article/details/95230246

[2]https://blog.csdn.net/zhuiqiuzhuoyue583/article/details/95228010

[3]https://blog.csdn.net/saltriver