自动控制原理：反馈控制系统的时域分析

参考文献
[1] 胡寿松. 自动控制原理[M]. 第六版. 北京:科学出版社, 2015.
[2] 陈伯时. 电力拖动自动控制系统——运动控制系统[M]. 第三版. 北京:机械工业出版社, 2020.
[3] 姜增如. 自动控制理论虚拟仿真与实验设计[M]. 第一版. 北京:北京理工大学出版社, 2020.

文中出现的代码均为Matlab代码。

1反馈控制系统的基本组成

反馈是指把取出的输出量送回输入端，并与输入信号相比产生偏差信号的过程。若反馈信号与输入信号相减，使产生的偏差越来越小，则称为负反馈，反之为正反馈。输出量反馈使系统能在存在无法预计扰动的情况下，自动减少系统的偏差，故称作反馈控制，是自动控制系统的基本控制方式。
反馈的具体工作原理是将输出量的实际值与给定值进行比较，得出偏差，用偏差值产生调节作用消除偏差，使输出量维持期望的输出。这里的偏差即给定量与反馈量之差。

偏差：给定量与反馈量之差，可以量测。
误差：输出量的实际值与期望值之差，无法量测，只有数学意义；期望值即理想化系统的输出。在单位反馈情况下，期望值就是系统的给定量，误差等于偏差。

下图为反馈（闭环）控制系统原理框图，用于表明自动控制系统的组成以及信号的传递情况：

信号类
●给定量（输入量）：人为给定、要求系统输出量参照变化的外部指令信号
●控制量：执行器中某个需要被控制的物理量
●被控量（输出量）：被控对象中某个需要被控制的物理量
●比较量（反馈量）：其值等同于被控量
●干扰信号：对系统输出量产生不利影响的信号

干扰包括：

1. 参考信号变化
2. 低频负载扰动：由于负载变化或驱动机构发生变化产生，可以通过PID控制器的积分部分消除
3. 高频测量噪声：在传感器或其引线中产生，可以通过滤波消除

基本元件类
●比较器：将所检测的被控量实际值与给定元件给出的参考两进行比较，确定两者之间的偏差
●控制器：下达指令的装置
●执行器：直接驱动被控对象，使其被控量发生变化
●被控对象：系统中被控制的设备或过程

闭环系统的传递函数见下图：

E(s)为比较器输出，B(s)为比较器反馈信号，定义E(s)=R(s)-B(s)。
G(s)为前向通道传递函数，；H(s)为反馈通道传递函数，即输出C(s)到输入端比较器的反馈信号B(s)之间设定所有传递函数的乘积，记为H(s)。

输入与扰动共同作用下，系统输出响应为：输入信号作用下（N(s)=0）的闭环传递函数，同扰动作用下（R (s)=0）闭环传递函数之和。
$C(s)=C_R(s)+C_N(s)$
$={\varphi }_{(}s)\cdot R(s)+{\varphi }_{(}s)\cdot N(s)$
$=\frac{G_1(s)\cdot G_2(s)}{1+G_1(s)\cdot G_2(s)\cdot H(s)}\cdot R(s)+\frac{G_2(s)}{1+G_1(s)\cdot G_2(s)\cdot H(s)}\cdot N(s)$
$=\frac{G_2(s)}{1+G_1(s)\cdot G_2(s)\cdot H(s)}\cdot [G_1(s)\cdot R(s)+N(s)]$

传递函数：

num = [ ]; den = [ ]; %num,den表示传递函数分子、分母
G = tf(num,den,Ts);

单位反馈系统是指反馈通道比例为1的反馈系统。

${\varphi }_{(}s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}$

2控制系统的性能指标

控制系统的性能指标有两种体系：时域指标和频域指标。时域指标分为稳态指标和动态指标。

2.1稳态指标

即稳态误差。

2.2动态指标

动控制系统的动态性能指标包括对给定输入型号的跟随性能指标和对扰动输入信号的抗干扰指标。通常调速系统的动态指标以抗扰性能为主，而随动系统（伺服系统）的动态指标以跟随性能为主。

跟随性能指标

在给定信号或参考输入信号R（t）的作用下，系统输出量C（t)的变化可用跟随性能指标描述。给定信号不同时，输出响应不同，通常以输出量的初始值为零时给定信号阶跃变化下的过渡过程作为典型的跟随过程，此时的输出量动态响应称作阶跃响应。
常用的阶跃响应跟随性能指标见下方时域图。

另外两种类型的时域图。

1. 上升时间：对有振荡系统定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。

[y,t] = step(G); %求阶跃响应曲线值
C = dcgain(G); %求终值
n = 1;
while y(n)<=C;n=n+1;end;
tr = t(i) %求上升时间

2. 峰值时间：响应超过其终止到达第一个峰值所需时间。

y = step(G); %求阶跃响应曲线值
[Y,k] = max(y); %求峰值
tp = t(k) %求峰值时间

3. 调节时间（稳态时间）：响应到达并保持在稳态值的±5%误差范围内所需的最短时间。

[y,t] = step(G); %求阶跃响应曲线值
C = dcgain(G); %求终值
i = length(t);
while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C) %保持在稳态值的±2%误差范围内
i = i - 1;
end
ts = t(i) %求稳态时间

4. 超调量：响应的最大偏离量h与终值之差的百分比。

y = step(G);
[Y,k] = max(y); %求峰值
C = dcgain(G); %求终值
Mp = 100*(Y-C)/C; %求超调量

5. 振荡次数： 在调节时间内，响应曲线穿越稳态值次数的1/2.

抗扰性能指标

控制系统稳定运行中，突加一个使输出量降低的扰动量F后，输出量由降低到恢复的过渡过程是系统典型的抗扰过程。
常用的抗扰性能指标为动态降落和恢复时间。

1. 动态降落： 系统稳定运行时，突加一个约定的标准负扰动量，所引起的输出量最大降落称为动态降落，输出亮在动态降落后逐渐恢复，达到新稳态值C∞2，则原稳态值C∞1与C∞2之差（C∞1-C∞2）是系统在该扰动作用下的稳态误差，即静差。
2. 恢复时间： 从阶跃扰动作用开始，到输出量基本恢复稳态，距新稳态值C∞2之差进入某基准值Cb的±5（±2）范围内所需的时间，定义为恢复时间。

二阶系统的数学模型

二阶系统是以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。大量的高阶、复杂系统可以在一定的近似范围内简化为二阶系统，以便于系统的分析与设计。标准形式的二阶系统闭环传递函数为：

1. ωn：无阻尼自然振荡频率（自然频率）。二阶系统的阻尼为零时，系统输出的振荡频率。
2. ξ：阻尼比（阻尼系数）。阻尼比是无单位量纲，表示了结构在受激振后振动的衰减形式。

ωn和ξ是系统基本参数，可用于描述二阶系统动态特性。

特征方程 D(s)指闭环传递函数的分母多项式等于零的代数方程，特征根即特征方程的根（即闭环极点）。

二阶系统的特征方程为 $s^2+2\xi {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2$
二阶系统的两个特征根为 $s_{1,2}=-\xi {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\xi }^2-1}$。

• 0<ξ<1，特征根为位于左半s平面的一对共轭负根；
• ξ=1，特征根为两个相等的负实根；
• ξ>1，特征根为两个不相等的负实根；
• ξ=0，特征根为位于虚轴上的一对纯虚根；

二阶系统的单位阶跃响应

零状态响应是指系统的初始状态为零时，仅由输入信号引起的响应。在单位阶跃函数作用下，二阶系统的零状态响应称为单位阶跃响应。二阶系统的特征根决定了系统的响应形式。

过阻尼二阶系统

当ξ>1时，系统为过阻尼状态，响应为一条单调上升曲线；
当ξ>>1时（实际工程中近似为一阶系统响应），二阶系统响应可近似为一阶系统响应。

欠阻尼二阶系统

当0<ξ<1时，系统为欠阻尼状态，此时系统将做振幅逐渐减小的周期性阻尼振动，这是因为阻尼并不足以阻止振动越过平衡位置。
系统的运动被不断阻碍，所以振幅减衰，并且振动周期也是越来越长，经过较长时间后，振动停止。

无阻尼二阶系统

当ξ=0时，系统为无阻尼状态，其响应为正弦波（等幅振荡）曲线，振荡频率为ωn；系统处于临界稳定状态（既不发散也不收敛）。

临界阻尼系统

当ξ=1时，系统为临界阻尼状态，是指当阻力使振动物体刚好能不作周期性振动而又能最快地回到平衡位置的情况，其响应为无超调的单调上升过程；同ξ>1的响应曲线类似，是振荡与不振荡的分界线。

以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：

由图可见：

1. ξ值越大，系统平稳性越好，超调量越小；
2. ξ值越小，系统振荡越强，振动频率越高；
3. ω增加时，系统响应速度加快，但响应峰值保持不变，超调量由阻尼系数唯一确定；

通常根据允许的最大超调量来确定ξ，然后再调整ω以获得合适的瞬态响应时间；其中ξ=0.7为最佳阻尼比，此时调节时间最短，快速性和平稳性最好，超调量<5%。

2线性系统的稳定性分析

2.1稳定性的基本概念

根据李雅普诺夫稳定性理论，线性系统的稳定性表述为：若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统渐进稳定，简称稳定；若在初始扰动的影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。

线性系统的稳定性由系统结构决定，与外界因素无关，这是因为控制系统中一般含有储能元件或惯性元件，不可能突变，因此当受到扰动或有输入量时，控制系统不会立即完成，而是有一定延缓，这就使得被控量恢复期望值或跟踪输入量有一个过渡过程。

2.2系统稳定性的直接判定

系统稳定的充要条件为：
系统所有闭环特征根均具有负的实部，即所有闭环特征根均具位于左半s平面。

这是因为对闭环传递函数：
$Ф(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+...+b_{m-1}s+b_m}{a_0{s}^m+a_1{s}^{m-1}+...+a_{m-1}s+a_m}$
设$R(s)=\frac{1}{s}$，即作用一理想脉冲信号到一线性系统，作为扰动信号
$C(s)=Ф(s)R(s)=\frac{A_0}{s}+\frac{A_1}{s-s_1}+...+\frac{A_i}{s-s_i}+...+\frac{A_n}{s-s_n}$
其中$s_i$为特征根。
对上式求拉氏反变换，得系统输出响应为
$c(t)=A_0+A_1{e}^{s_{1}t}+...+A_i{e}^{s_{i}t}+...+A_n{e}^{s_{n}t}$
$A_0$为输出稳态分量，其余各项为输出瞬态分量。对于一个稳定的系统，其输出瞬态分量应为0，故须满足：
${\lim }_{x\to \infty }{e}^{st}\to 0$
即$Re[s_i]<0$

因此稳定性与零点无关，只需将系统所有极点求出，即可立即判定稳定性。

●使用闭环特征多项式的根判定稳定性：.

roots(den) %求特征多项式极点，实部为0则稳定

●使用零极点图判定稳定性：

pzmap（num,den）%极点用X表示，零点用○表示，若极点都落在左半平面则系统稳定。

2.3系统极点分布对时域响应的影响

1. 所有闭环极点在s平面的左半平面，则系统稳定（参考上一节推导过程）；
2. 极点的性质决定瞬态分量的类型：
   ●实数极点：非周期瞬态分量
   ●共轭复数极点：阻尼振荡瞬态分量
3. 极点距虚轴的距离决定了其所对应暂态分量衰减的快慢，距离越远衰减越快；

3线性系统的稳态误差分析

3.1闭环系统的误差传递函数

闭环系统的误差传递函数指E(s)为输出量时的传递函数。
$\varphi (s)=\frac{E(s)}{R(s)}$
$=\frac{1}{1+G(s)\cdot H(s)}$

3.2稳态误差

稳态误差（Steady-State Errors） 是指时间趋于无穷时（即系统稳定后）输出量与期望输出的偏差。从现实意义出发，对于一个实际的控制系统，由于摩擦、间隙、不灵敏区、零位输出等非线性因素的存在，都会造成稳态误差。

稳态误差可分为原理性误差和系统稳态误差。

1. 原理性误差：系统由于结构、输入作用和类型所产生的稳态误差；本文仅讨论原理性误差。
2. 系统稳态误差：系统由于非线性因素所产生的稳态误差
   通常把阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统；而把有原理性误差的系统称为有差系统。

控制系统的稳态误差越小说明控制精度越高，一般要求稳态误差在给定量的2%-5%之间。系统在多个信号共同作用下总的稳态误差等于多个信号单独作用下的稳态误差之和。

静态误差属于稳态误差，由于控制原理（如纯比例调节）造成的稳态误差可称静态误差。

计算稳态误差以系统稳定为前提。误差信号e(t)中，包含瞬态分量$e_{ts}(t)$和稳态分量$e_{ss}(t)$，当时间趋于无穷时，必有$e_{ts}(t)$趋于0。控制系统的稳态误差定义为误差信号e(t)的稳态分量$e_{ss}(\infty )$，简记为$e_{ss}$。

$e_{ss}={\lim }_{x\to \infty }e(t)={\lim }_{s\to 0}sE(s)$
$={\lim }_{s\to 0}\frac{sR(s)}{1+G(s)\cdot H(s)}$

由上式推出结论，系统的稳态误差除了与系统本身结构和参数有关外，还与系统输入信号的形式和大小有关。

输入信号作用下的稳态误差见下图：

将阶跃输入、速度输入及加速度输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加速度误差。

t = [0:0.001:15]; %表示以0为起点，以15为终点，以0.001为步长的一维矩阵
y = step(G,t); %求阶跃响应曲线值
ess = 1-y;
Ep = ess(length(ess)) %求稳态误差