标签：动态规划
在一个由 0 和 1 组成的二维矩阵内，找到只包含 1 的最大正方形，并返回其面积。
示例:
输入:
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
输出: 4
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximal-square
可以使用动态规划降低时间复杂度。我们用 dp(i,j)dp(i, j)dp(i,j) 表示以 (i,j)(i, j)(i,j) 为右下角，且只包含 111 的正方形的边长最大值。如果我们能计算出所有 dp(i,j)dp(i, j)dp(i,j) 的值，那么其中的最大值即为矩阵中只包含 111 的正方形的边长最大值，其平方即为最大正方形的面积。
那么如何计算 dpdpdp 中的每个元素值呢？对于每个位置 (i,j)(i, j)(i,j)，检查在矩阵中该位置的值：
如果该位置的值是 000，则 dp(i,j)=0dp(i, j) = 0dp(i,j)=0，因为当前位置不可能在由 111 组成的正方形中；
如果该位置的值是 111，则 dp(i,j)dp(i, j)dp(i,j) 的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 dpdpdp 值决定。具体而言，当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加 111，状态转移方程如下：
dp(i,j)=min(dp(i−1,j),dp(i−1,j−1),dp(i,j−1))+1dp(i, j)=min(dp(i−1, j), dp(i−1, j−1), dp(i, j−1))+1 dp(i,j)=min(dp(i−1,j),dp(i−1,j−1),dp(i,j−1))+1
如果读者对这个状态转移方程感到不解，可以参考 1277. 统计全为 1 的正方形子矩阵的官方题解，其中给出了详细的证明。
此外，还需要考虑边界条件。如果 iii 和 jjj 中至少有一个为 000，则以位置 (i,j)(i, j)(i,j) 为右下角的最大正方形的边长只能是 111，因此 dp(i,j)=1dp(i, j) = 1dp(i,j)=1。
以下用一个例子具体说明。原始矩阵如下。
0 1 1 1 0
1 1 1 1 0
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
对应的 dpdpdp 值如下。
0 1 1 1 0
1 1 2 2 0
0 1 2 3 1
0 1 2 3 2
0 0 1 2 3
下图也给出了计算 dpdpdp 值的过程。
图片.png
class Solution:
def maximalSquare(self, matrix: List[List[str]]) -> int:
if len(matrix) == 0 or len(matrix[0]) == 0:
return 0
maxSide = 0
rows, columns = len(matrix), len(matrix[0])
dp = [[0] * columns for _ in range(rows)]
for i in range(rows):
for j in range(columns):
if matrix[i][j] == '1':
if i == 0 or j == 0:
dp[i][j] = 1
else:
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1
maxSide = max(maxSide, dp[i][j])
maxSquare = maxSide * maxSide
return maxSquare