Kipf-GCN《Semi-Supervised Classification With Graph Convolutional Networks》论文详解

1. 前言

这篇发表在ICLR上的论文很久就拜读了，论文作者Kipf和Welling都是大神级的人物，前者目前在谷歌大脑，后者是微软研究院的杰出科学家。

这篇文章在Related Work中提到，是基于第一代GCN（Spectral networks and locally connected networks on graphs,2014）和第二代GCN（Convolutional neural networks on graphs with fast localized spectral filtering,2016）。但进行了一系列的改进。
论文通过不断对谱卷积核进行近似来简化计算，使得模型复杂度与图的边数量呈线性关系，同时学习编码局部图结构和节点特征的隐藏层表示。在基于图的半监督分类学习中取得了SOTA结果。

2. 提出GCN

2.1 先前方法的局限性

先前的基于图的半监督学习方法，其标签信息通过基于图的显式正则化在图上平滑，如通过在损失函数中使用图拉普拉斯正则化项：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \mathcal{L}=\m… 这里，

• ${\mathcal{L}}_0$ 表示图中有标签数据的有监督损失
• $f(\cdot )$ 是类似于神经网络的可微函数
• $\lambda$是正则项的超参数
• $X$ 是节点特征向量 $X_i$ 组成的矩阵。
• $\Delta =D-A$ 表示无向图 $\mathcal{G}=(\mathcal{V},\mathcal{E})$ 未标准化的图拉普拉斯矩阵，$\mathcal{G}$ 是由 $N$ 个顶点 $v_i\in \mathcal{V}$ 及相应的边 $(v_i,v_j)\in \mathcal{E}$ 组成。
• $\mathcal{G}$ 的邻接矩阵为 $A\in {\mathbb{R}}^{N\times N}$
• $\mathcal{G}$ 的度矩阵为 $D_{ii}={\sum }_j{A}_{ij}$，即每一行或每一列的和组成的对角矩阵。

式(1)依赖于 图中连接的节点可能共享相同标签 的假设。 但这种假设可能会限制建模能力，因为图的edges 不一定编码节点相似性，可能包含其他信息。

2.2 作者提出的方法

与上述方法不同的事，作者提出直接使用神经网络模型 $f(X,A)$ 对图结构进行编码，并针对所有带有标签的节点在监督目标 ${\mathcal{L}}_0$ 上进行训练，而不包含正则项 ${\mathcal{L}}_{reg}$。

作者通过谱图卷积一步步推导出GCN的表达式。（本节的前置知识请参阅博文：《关于谱图理论-图傅里叶变换-谱卷积等谱图领域知识的理解》¹）

2.2.1 引入谱卷积

图上的谱卷积定义为谱域中图顶点 $x$ 与 带有参数 $\theta \in {\mathbb{R}}^N$ 的卷积核 $g_{\theta }$ 的乘积：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ g_\theta\star … 其中 ,

• $x\in {\mathbb{R}}^N$ 是输入（每个顶点都是一个常数，一共 $N$ 个顶点）
• $U$ 是标准化的图拉普拉斯 $L=I_N-D^{-\frac{1}{2}}A{D}^{-\frac{1}{2}}=U\Lambda U^T$ 的特征向量组成的矩阵，其中，$\Lambda$ 是特征向量的对角化矩阵，$U^{T}x$ 是 $x$ 的图傅立叶变换，$I_N$ 是单位矩阵。
• $g_{\theta }=diag(\theta )$ 是卷积核($\theta \in {\mathbb{R}}^N$) ，且为 $L$ 特征值的函数，所以可以写为 $g_{\theta }(\Lambda )$。

(2)式的计算开销很大，因为与 $U$ 相乘的复杂度为 $\mathcal{O}(N^2)$，并且，对于大型图来说，计算 $L$ 的特征分解非常昂贵。

通过Chebyshev多项式改进卷积核

为了缓解计算开销大的问题，作者借鉴了 Hammond et al. (2011)²的论文，他们提出按照Chebyshev多项式 $T_k(x)$ 到第 $K^{th}$ 阶的截断展开可以很好地近似$g_{\theta }(\Lambda )$：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ g_{\theta^{'}}… 其中，重缩放的$\tilde{\Lambda }=\frac{2}{{\lambda }_{max}}\Lambda -I_N$；${\lambda }_{max}$ 是拉普拉斯矩阵 $L$ 的最大特征值；${\theta }^{{}^{\prime }}\in {\mathbb{R}}^K$ 是Chebyshev系数，是可训练的参数；

Chebyshev多项式的形式为 $T_k(x)=2x{T}_{k-1}(x)-T_{k-2}(x)$，其中 $T_1(x)=1$，$T_2(x)=x$。

对卷积操作进行简化

$\because$ $g_{{\theta }^{{}^{\prime }}}(\Lambda )$ 是 $\Lambda$ 的 $k$ 阶多项式，我们知道图拉普拉斯矩阵是满秩实对称矩阵，它可以进行对角化分解$L=U\Lambda U^T$ ¹

$\therefore$ $g_{{\theta }^{{}^{\prime }}}(L)$ 是 $U\Lambda U^T$ 的 $k$ 阶多项式。

又$\because$ $(U\Lambda U^T{)}^k$=$U{\Lambda }^k{U}^T$

$\therefore$ $g_{{\theta }^{{}^{\prime }}}(L)=U{g}_{{\theta }^{{}^{\prime }}}(\Lambda )U^T$

$\therefore$
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ g_{\theta^{'}}… 重缩放的拉普拉斯矩阵 $\tilde{L}=\frac{2}{{\lambda }_{max}}L-I_N$。由于(4)式只与拉普拉斯矩阵有关，所以计算复杂度为 $\mathcal{O}(|\mathcal{E}|)$，即与边的数量呈线性关系。

使用一阶Chebyshev多项式的卷积核

图卷积神经网络可以通过堆叠多个(4)式形式的卷积层来构建，并在每个层的后面增加一个非线性变换。如果将每一层卷积核的Chebyshev多项式限制为一阶，即:
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ g_{\theta^{'}}… 此时卷积核是是 $L$ 的线性函数。
实验表明，用这种方式，仍然可以通过堆叠多个这样的层来增强卷积核函数表达能力。

简化特征向量最大值

通过上文可以看出，重缩放的图拉普拉斯为 $\tilde{L}=\frac{2}{{\lambda }_{max}}L-I_N$，其依旧需要用到特征值，也就是需要进行特征分解，这就导致了高的计算开销，为了降低计算复杂度，作者提出 ${\lambda }_{max}\approx 2$ 来避免矩阵分解，这种做法是有一定的理论依据的， 通过查证，发现经典书籍《Spectral Graph Theory》中有相关的论述及证明，证明在《Spectral Graph Theory (revised and improved)》的第一章：CHAPTER 1 Eigenvalues and the Laplacian of a graph。我也在另一篇博文《kipf-GCN中关于标准化的拉普拉斯矩阵性质的初探》中进行了验证，其 ${\lambda }_{max}\le 2$ ，所以作者使用出 ${\lambda }_{max}\approx 2$ 简化没有问题。

所以(5)式可以化简为：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ g_{\theta^{'}}… 可见，卷积核已经完全不需要矩阵分解操作。卷积核参数可以在整个图上共享，连续应用这种形式的卷积核可以有效地卷积节点的 $k$ 阶邻域，其中 $k$ 是神经网络模型中连续卷积核操作或卷积层的数量。(这个结论还需要好好理解。)

进一步限制卷积核参数量

在实践中，进一步限制参数的数量以解决过度拟合并最小化每层的运算数量（例如矩阵乘法）可能是有益的。令$\theta =\theta {{}^{\prime }}_0=-\theta {{}^{\prime }}_1$，(6)式可以转化为：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ g_{\theta^{'}}…

对邻接矩阵和度矩阵进行重新规范化

作者给出的理由是，(7)式中的 $I_N+D^{-\frac{1}{2}}A{D}^{-\frac{1}{2}}$ 的特征值和特征向量的范围是 $[0,2]$，当在深度神经网络模型中使用时，重复应用此运算符可能会导致数值不稳定性和爆炸/消失梯度。为了缓解这个问题，作者提出了“renormalization trick”，也就是对邻接矩阵和度矩阵进行重新规范化：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ I_N+D^{-\frac1… (注：为什么不除以2进行缩放呢？)

卷积操作的向量化形式

由于图中的每个顶点都可以视为一个embedding，因此输入 $x\in {\mathbb{R}}^N$ 的向量化形式为 $X\in {\mathbb{R}}^{N\times C}$，即每个顶点是 $C$ 维向量。如果有 $F$ 个卷积核或feature maps，则该层神经元的定义为：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ Z= \tilde{D}^{… 其中，$\Theta \in {\mathbb{R}}^{C\times F}$ 是卷积核参数矩阵。经过计算可知卷积结果 $Z\in {\mathbb{R}}^{N\times F}$。
这个卷积操作的复杂度为 $\mathcal{O}(|\mathcal{E}|FC)$。

GCN的公式

最终，逐层传播的多层图卷积网络为：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ H^{l+1}=\sigma… 其中 $W^{(l)}$ 是第 $l$ 层的权重；$\sigma (\cdot )$ 是激活函数，如ReLU；$H^{(l)}\in {\mathbb{R}}^{N\times D}$ 是激活后的第 $l$ 层神经元，$H^{(0)}=X$。

GCN用于半监督图分类

作者提出了简单、灵活且高效的图上操作算法GCN，可以在数据 $X$ 和 邻接矩阵 $A$ 上调整GCN模型来放宽基于图的半监督学习中通常做的某些假设限制。
用于半监督学习的多层GCN的整体模型如图1所示。

图1：用于半监督学习的GCN示意图。(a) 输入节点的维度为 $C$，输出节点的维度为 $F$，图结构在训练和测试中共享（也就是transductive，这在论文相关文献的4.2节及GraphSage中均有提及!），$Y_i$是带标签数据，从数据集介绍可以看到，很多数据集90%的数据都是无标签数据。(b) 在使用5%有标签的Cora数据集上训练的两层GCN上隐藏层激活的t-SNE可视化，颜色表示文档类别。

在无向图上进行半监督节点分类

使用两层GCN进行节点分类。首先，可以在预处理过程中求出 $\hat{A}={\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}\tilde{A}{\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}$ ，则前向传播模型的形式为：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ Z=f(X,A)=softm… 其中，$A\in {\mathbb{R}}^{N\times N}$，$X\in {\mathbb{R}}^{N\times C}$，$W^{(0)}\in {\mathbb{R}}^{C\times H}$，$W^{(1)}\in {\mathbb{R}}^{H\times F}$，$H$ 是输入到隐层的feature maps个数，$F$ 是输出层的每个结点的维度。所以 $Z\in {\mathbb{R}}^{N\times F}$ 代表了 $N$ 个节点在 $F$ 个类别上的概率，比如Cora有2708个节点，7个类别，则$N=2708,F=7$。

最终的损失函数为多分类交叉熵损失函数：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \mathcal{L}=-\… 其中，${\mathcal{Y}}_{\mathcal{L}}$ 是有标签的节点索引。

GCN贡献

(1) 提出了逐层传播的图学习算法，即GCN；
(2) 展示了GCN如何用于图中节点的快速且可扩展的半监督分类；
(3) 在数据集上的分类精度和效率达到了SOTA。

GCN局限性

内存要求： GCN对内存需求随着数据集的大小而线性增长。
不支持有向图和带有特征的边： GCN目前不自然地支持边特征，并且仅限于无向图（加权或未加权）。
假设限制： GCN隐式地假设局部性（对于具有K层的GCN，依赖于K阶邻域）以及自连接与边缘对相邻节点的同等重要性。
此外，在GraphSage中，也表明基于transductive的GCN难以泛华到其他的图，因为GCN要求在训练期间图中的所有节点都存在，不会自然地泛化到看不见的节点。

附录（作者简介）

Kipf和Welling都是大神级的人物。
Kipf的简历显示，他分别以3.93/4.0、3.97/4.0的高分绩点从埃尔朗根-纽伦堡大学获得物理学本科和硕士学位，目前为谷歌大脑的高级研究科学家。
Max Welling教授是阿姆斯特丹大学机器学习的研究主席，也是微软研究院的杰出科学家。CIFAR和ELLIS的研究员及创始董事会成员。他之前担任过高通科技公司副总裁，加州大学欧文分校教授。

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1. 关于谱图理论-图傅里叶变换-谱卷积等谱图领域知识的理解 ↩︎ ↩︎

2. David K. Hammond, Pierre Vandergheynst, and Remi Gribonval. Wavelets on graphs via spectral graph theory. Applied and Computational Harmonic Analysis, 30(2):129–150, 2011. ↩︎