【有限位移旋量理论】罗德里格旋转公式(Rodrigues Rotation Formula)

【有限位移旋量理论】罗德里格旋转公式(Rodrigues Rotation Formula)

有限位移旋量理论也称位移旋量，是李群se(3)的元素，有限位移可以描述绕轴的旋转和平移，有限位移的研究可以追溯Chasles的研究，经历了19世纪美国科学院首位外籍院士、爱尔兰天文物理学家、数学家哈密顿的黄金时代，发展至采用Euler-Rordrigues四个参量来表述刚体位移的阶段。接下来，笔者将分篇介绍有限位移旋量理论。

表示三维空间中旋转的方法有很多种，但我们这里关注的是轴角式(Axisangle)的旋转．虽然使用欧拉角的旋转很常用，但是我们知道欧拉角的表示方法不仅会导致Gimbal Lock(万向节死锁)而且依赖于三个坐标轴的选定，使用四元数正是为了解决这个问题．我们这里所要讨论的轴角式旋转是旋转更加普遍的情况。

Rordrigues公式又称轴角公式，顾名思义根据旋转轴和旋转角来描述刚体的旋转。轴角公式和四元数可以相互转换，并且转换过程相当的直观，绕单位轴旋转的四元数描述为：

下面介绍Rodrigues' rotation formula的推导过程：

假设我们有一个经过原点的（如果旋转轴不经过原点我们可以先将旋转轴
平移到原点，进行旋转，再平移回原处）旋转轴，我们希望将
一个向量，沿着这个旋转轴旋转度，变换到

我们可以将v 分解为平行于旋转轴u 以及正交（垂直）于u 的两个分量，v∥和v⊥，即 :

我们可以分别旋转这两个分向量，再将它们旋转的结果相加获得旋转后的向量

下面是分解的示意图：

 可以看到，v∥ 其实就是v 在u 上的正交投影(Orthogonal Projection)，根据
正交投影的公式，我们可以得出：

因为v = v∥ + v⊥，我们可以得到：

既然已经知道怎么分解v，接下来我们只需要分别讨论对v∥ 和v⊥ 的旋转就可以了。

v∥ 的旋转

首先，我们来看一下平行于u 的v∥．这种情况其实非常简单，从之前的图示中就可以看到，v∥ 其实根本就没有被旋转，仍然与旋转轴u 重合，所以：

v⊥ 的旋转

接下来，我们需要处理正交于u 的v⊥．因为这两个向量是正交的，这个旋转可以看做是平面内的一个旋转．因为旋转不改变v⊥ 的长度，所以路径是一个圆．下面是这个旋转的示意图，右侧的为俯视图：

 现在，3D 的旋转就被我们转化为了2D 平面上的旋转．由于在这个平面上我们只有一个向量v⊥，用它来表示一个旋转是不够的，我们还需要构造一个同时正交于u 和v⊥ 的向量w，这个可以通过叉乘来获得：

注意叉乘的顺序，因为我们使用的是右手坐标系统，按照右手定则可以发现这个新的向量w 指向v⊥ 逆时针旋转/2 后的方向，并且和v⊥ 一样也处于正交于u 的平面内．因为∥u∥ = 1，我们可以发现：

也就是说，w 和v⊥ 的模长是相同的，所以，w 也位于圆上．有了这个新的向量w，就相当于我们在平面内有了两个坐标轴．我们现在可以把v′⊥ 投影到w 和v⊥ 上，将其分解为 和．使用一点三角学的知识我们就能得到：

这也就完成了旋转的第二步，我们可以得到这样一个定理：

当v⊥ 正交于旋转轴u 时，旋转θ 角度之后的v′⊥ 为：

v 的旋转

将上面的两个结果组合就可以获得：

因为叉乘遵守分配律，

最后，代入：

得Rodrigues’ Rotation Formula：