Linear Algebra 6：Having Solution or Not

1.Reference

给定一个Matrix-vector product：，其中为Matrix，为vector。是否会存在这样的vector ，时的等式成立。

1.1basis vector、linear combination、span

（1）basis vector基向量：

在直角坐标系中，有两个基本的向量和，单位长度为1，用这两个向量就可以表示直角坐标系中的任何向量，    因此，这两个向量有一个专有的名称——基向量（basis vectors）。同时，在轴上的向量被称为 i-hat，符号 ；而在 轴上的向量被称为 j-hat，符号为。

（2）linear combination线性组合：

在坐标系中，任意两个向量进行加法和乘法，可以覆盖整个坐标系

                             ,其中不能共线，是变量

则基本向量可构建不同的坐标系。

线性组合中的线性从何而来？一种说法是，或中，保持其中一个参数不变，则结果向量的顶点将在坐标系中画出一条直线，如下面的右图所示，保持 a 不变，不断变换 b 的值，得出右图的向量尾部落在一条直线上。

（3）span生成空间：

为基本向量的所有线性组合的所有集合。

在二维空间中span有三种情况：在一条直线上，span为一条直线；都是原点，span也为原点；若以上都不是，则span可以覆盖整个坐标系。

在三维空间中：如果有两个vector，则他们的线性组合的集合为该空间中的一个平面或原点或一条直线；如果有三个vector，且每一个vector与另外两个vector所组成的span不共面，则这三个vector可以表示任意一个向量。

（4）线性相关（Linearly dependent）

如果新增的向量和原 span 重合，则它不会给 span 带来更多的变化，例如在二维空间中，2 条 vectors 在同 1 条直线上；三维空间中，第 3 条 vector 在前 2 条 vectors 所组成的平面上，则删去最后 1 条 vector 也不会给 span 带来任何变化，这种新的 vector 是多余的，我们把它称为Linearly dependent：其中 1 条 vector 可以用其他的 vectors 来表示，例如 3 维空间中有：

（5）线性无关（Linearly independent）

有 Linearly dependent ，就有 Linearly independent ，意味着新增的 vector 不在原 span 上，即给原来的 span增加了一个维度。