KMP算法 - 基于《算法》第四版

基本思想

1. 规定：匹配字符串 - 模式串(pat)， 匹配文本 - 文本(txt)
2. 基本思想：当出现不匹配时，就能知晓一部分文本的内容（因为在匹配失败之前它们已经和模式相匹配），根据这些已经知晓的内容决定 在出现不匹配时，模式应在处于哪个位置和文本的下一个字符比较 - 即找到已知晓内容和模式的最长公共前缀（利用模式去匹配已知晓的内容）

要点

看《算法》的时候，有点部分真的太简洁了，看的晦涩难懂( 是我太菜了~ /(ㄒoㄒ)/~~） ，关注一下几个要点，要结合书中内容看可能会有新的理解

1. 指向文本的指针 i 永远不会回退，不会重复扫描文本，只有模式的指针 j 会进行回退。
2. 有限状态机（DFA）只和 模式 有关，所以只要计算出了一个 模式的有限状态机（DFA），就可以匹配不同的文本。
3. DFA[txt.charAt(i)][j] = next， 表示 当前状态 j 时，遇到 文本字符 txt.charAt(i) （即 txt.charAt(i) 和 pat.charAt(j)进行比较）后的下一个状态是 next ( 即模式的指针 j 需要回退/前进到 next 处 和 文本字符 txt.charAt(i + 1)进行比较) 。
4. 在一个状态中，要确定状态会进行何种转移，需要知道 当前状态 和 遇到的字符。
5. 构造DFA：匹配成功时，即txt.charAt(i) == pat.charAt(j)，DFA[txt.charAt(i)][j] = j +1； 匹配失败时，模式指针 j 的回退也不是盲目回退， 它会根据 部分已经匹配成功的字符串与模式进行匹配后所处的状态（即书上所说的 X 重启状态） 以及 当前匹配失败的输入 来决定回退到哪个位置
   匹配图.png
   在箭头处出现了不匹配，那此时pat 指针 j 应该回退到哪个地方在和 txt 的下一个字符 A 比较呢？
   知道 状态 j 遇到了 字符D 发生了不匹配，意味着pat的前 j 个字符串 (0.. j-1)和文本的 (i - j, i - 1)是相匹配的， 就像上述所示，但是我们不用理会 txt.charAt(i-j)，因为 i - j处已经不可能出现匹配，所以 部分已经匹配成功的字符串 就为 B A B A （pat[1… j - 1]）。
   现我们考虑 B A B A 和 模式 进行匹配会到达什么状态（所到达的状态也是书中所提到的 重启状态 X），这个过程我们也可以看成是找 部分已经匹配成功的字符串 和 模式 的 最长公共前缀 的过程。
   匹配图2.png
   可以看到 B A B A 和 模式 进行匹配之后到达了 状态 3，即 X =3。则可以知道 DFA[D][5] = DFA[D][3]，即在状态 5 遇到 字符 D发生不匹配时应该回退的位置 就是在状态 3 遇到 字符 D 时 应该到达的位置。 这可以对应到书中代码 DFA[C][j] = DFA[C][X]。
6. 困扰我很久的一个 X 如何进行求得，可以将其看成一个 X[] 数组，记录了模式与 部分匹配成功的字符串（pat[1…j -1]）所达到的所有状态（书本P765，图5.3.8很好的表达了此点）。它们之间关系是一个递推关系，X[i+1]为X[j]状态 遇到 pat.charAt(j)时所到达的状态，即 X[j + 1] = DFA[pat.charAt(j)][x[j]]，X[0]初始化状态为0。 这也便是书中代码中的 X = DFA[pat.charAt(j)][X]。理解了上述6,7之后，就可以写出构造DFA的过程（当然，我对于上述6，7的说明都是基于你已经看过了《算法》中字符串查找部分哦~）

int[][] DFA;
public void generateDFA(String pat){
        int M = pat.length();
        int R = 256;  // ASCII字符不会操过256种
        DFA = new int[R][M];
        // 初始化状态0, 在状态0只有遇到了pat.charAt(0)才会向前推进, 遇到其他为0(java默认初始化数组为0)
        DFA[pat.charAt(0)][0] = 1;
        int X = 0;  // 初始化重启状态为0
        for (int j = 1; j < M; j++){  // 构造DFA数组过程
           for (int c = 0; c < R; c++)
          // 状态j遇到字符c不匹配时,把重启状态X遇到字符c到达哪个状态赋值DFA[c][j]
                DFA[c][j] = DFA[c][X];
           DFA[pat.charAt(j)][j] = j + 1;  // 匹配成功, 状态向前推进
           X = DFA[pat.charAt(j)][X];  // 部分已经成功匹配字符串中增加了pat.charAt(i), 需要更新重启状态X,即它们的最长重叠字符会发生变化
        }
}

7. 我们已经计算出了DFA，下面是利用DFA来搜索文本的算法 - 结合书本P498 图5.3.7理解：

public int search(String txt) {
   int M = pat.length();
   int N = txt.length();
   int i,j;
    // pat 的初始态为 0 - 模拟有限状态机运行
   for (i = 0,j = 0; i < N && j < M; i++) {
        // 当前是状态 j，遇到字符 txt[i]，
        // pat 应该转移到哪个状态？
        j = dp[txt.charAt(i)][j];
        // 如果达到终止态，返回匹配开头的索引
        if (j == M) return i - M;
   }
   // 没到达终止态，匹配失败
   return N;
}

8. 结合上面两部分就可以得到具体的KMP算法啦！ （ 具体参考书籍上的算法哦

总结

1. 要使用KMP算法进行匹配，重要的是求出 DFA 数组，而要求出正确的得到DFA数组，格外需要关注（难理解）的是重启状态X和重启状态X的转移，即为每次发生匹配时，模式 和 pat[1..j]的最长公共前缀。只要得到了DFA数组之后，模拟有限状态机运行就可以进行匹配操作了。
2. 对于长度为M的模式字符串和长度为N的文本，KMP查找算法访问字符串不会超过 N + M个。
3. 就算书上所提的一样，KMP算法为最坏情况提供的线性级别运行时间保证的一个理论成果，在实际运用中，它比暴力算法的速度优势并不明显

参考资料

[1] https://judes.me/tech/2016/04/10/kmp.html
[2] https://book.douban.com/subject/19952400/discussion/59623403/
[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/83334559